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Questão de Matemática — Problemas — FGV 2025

MatemáticaProblemas
Código
fg125702
Banca
FGV
Órgão
TCE-RR
Ano
2025
Nível
Superior
Um quartel possui um número N de soldados, menor que 150. O sargento reparou que dividindo os soldados em grupos de 9 ou em grupos de 12, sempre sobravam 4 soldados. Entretanto, dividindo os soldados em grupos de 7, os grupos ficavam completos e não sobrava nenhum soldado.A soma dos algarismos do número N é
  1. A4.
  2. B6.
  3. C7.
  4. D9.
  5. E11.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 4.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a A soma dos algarismos é 4, alternativa A..

A ideia por trás

Quando um número deixa o mesmo resto ao ser dividido por dois números diferentes, a diferença entre o número e o resto é múltiplo comum desses dois números. Por exemplo, se N deixa resto 4 ao dividir por 9 e por 12, então N - 4 é múltiplo de 9 e de 12 ao mesmo tempo, ou seja, é múltiplo do mínimo múltiplo comum (MMC) deles. O MMC é o menor número que é múltiplo de ambos, e qualquer múltiplo dele também serve. Aqui, o MMC(9,12) = 36, então N - 4 = 36k, logo N = 36k + 4. Além disso, N deve ser divisível por 7, então precisamos encontrar o valor de k que torne 36k + 4 múltiplo de 7, respeitando N < 150. Depois de achar N, somamos seus algarismos.

O que a questão dá

  • N < 150

  • N deixa resto 4 ao dividir por 9

  • N deixa resto 4 ao dividir por 12

  • N é divisível por 7

O que queremos: a soma dos algarismos do número N

Passo 1 — Calcular o MMC de 9 e 12

Precisamos do menor número que é múltiplo de 9 e de 12 ao mesmo tempo, porque N - 4 deve ser múltiplo de ambos. O MMC nos dá a base para escrever todos os possíveis valores de N - 4.

Por que esta fórmula: Para achar o MMC, fatoramos cada número em primos e pegamos os fatores comuns e não comuns com o maior expoente. 9 = 3² e 12 = 2² × 3, então o MMC é 2² × 3² = 4 × 9 = 36.

MMC(9,12)=22×32=36\text{MMC}(9{,}12) = 2^{2} \times 3^{2} = 36

De onde vem cada valor: 222^{2} = fatoração de 12: 12 = 2² × 3 · 323^{2} = fatoração de 9: 9 = 3²

MMC(9,12)=4×9=36=36\text{MMC}(9{,}12) = 4 \times 9 = 36 = \boxed{36}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de incluir o fator 2² do 12, achando MMC = 9, o que daria N = 9k + 4 e valores errados.

Passo 2 — Escrever a forma geral de N

Como N - 4 é múltiplo de 36, podemos escrever N - 4 = 36k, onde k é um número inteiro. Isso nos dá uma expressão para N que já garante as condições de resto 4.

Por que esta fórmula: Se um número é múltiplo de outro, ele pode ser escrito como o produto desse outro por um inteiro. Assim, N - 4 = 36k, então N = 36k + 4.

N=36k+4N = 36k + 4

De onde vem cada valor: 3636 = passo 1: MMC(9,12) = 36 · 44 = enunciado: resto 4 ao dividir por 9 e por 12

N=36k+4N = 36k + 4
NÃO CAIA NESSA!

Escrever N = 36k - 4, invertendo o sinal. Lembre: N - 4 = 36k, então N = 36k + 4.

Passo 3 — Testar valores de k até achar múltiplo de 7

Agora precisamos que N seja divisível por 7. Como N = 36k + 4, vamos testar k = 0, 1, 2, ... até encontrar um N < 150 que seja múltiplo de 7. Isso porque N deve ser menor que 150.

Por que esta fórmula: Um número é divisível por 7 se o resto da divisão por 7 é zero. Testamos cada k calculando N e verificando se N ÷ 7 tem resto 0.

NÃO CAIA NESSA!

Parar no primeiro N que satisfaz as condições de resto, mas não verificar a divisibilidade por 7. Por exemplo, k=1 dá N=40, que não é múltiplo de 7.

Passo 4 — Encontrar N = 112

Testando k = 0, 1, 2, 3, temos: k=0 → N=4 (não múltiplo de 7), k=1 → N=40 (não), k=2 → N=76 (não), k=3 → N=112, e 112 ÷ 7 = 16, resto 0. Como 112 < 150, este é o valor procurado.

Por que esta fórmula: Aqui não há fórmula nova; apenas substituímos k na expressão N = 36k + 4 e verificamos a divisibilidade por 7.

N=36×3+4N = 36 \times 3 + 4

De onde vem cada valor: 3636 = passo 1: MMC(9,12) = 36 · 33 = valor de k testado · 44 = enunciado: resto 4

N=36×3+4=108+4=112=112N = 36 \times 3 + 4 = 108 + 4 = 112 = \boxed{112}
NÃO CAIA NESSA!

Testar apenas alguns valores e achar que não há solução, ou esquecer de verificar que 112 é múltiplo de 7.

Passo 5 — Somar os algarismos de N

A questão pede a soma dos algarismos do número N, não o próprio N. Agora que sabemos que N = 112, basta somar 1 + 1 + 2.

Por que esta fórmula: A soma dos algarismos de um número é a adição de cada dígito que o compõe. Para 112, os algarismos são 1, 1 e 2.

S=1+1+2S = 1 + 1 + 2

De onde vem cada valor: 11 = passo 4: N = 112, segundo algarismo · 22 = passo 4: N = 112, terceiro algarismo

S=1+1+2=4=4S = 1 + 1 + 2 = 4 = \boxed{4}
NÃO CAIA NESSA!

Somar os algarismos de um número errado, como 40 (soma 4) ou 76 (soma 13), por não ter verificado todas as condições.

Resposta: A soma dos algarismos é 4, alternativa A.

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