Questão de Estatística — Probabilidade condicional, Teorema de Bayes e independência — FGV 2025

Probabilidade condicional, independência e eventos mutuamente exclusivos

Gabarito: letra D. Estão corretas as afirmativas I, II, III e IV. A afirmativa V é falsa: eventos mutuamente exclusivos não são sempre independentes — na verdade, se dois eventos mutuamente exclusivos têm probabilidades positivas, eles são dependentes, pois a ocorrência de um exclui a ocorrência do outro. As afirmativas I, II, III e IV expressam corretamente as definições e propriedades fundamentais de independência e probabilidade condicional.

Vamos analisar cada afirmativa com cuidado, pois a banca explora exatamente a confusão clássica entre mutuamente exclusivos e independentes.

Item I — ✅ Correto

A definição formal de independência entre dois eventos A e B é exatamente que a probabilidade da interseção seja o produto das probabilidades individuais. Esta é a definição canônica, e a afirmativa a reproduz corretamente.

Item II — ✅ Correto

Se $P(A|B) = P(A)$, isso significa que a ocorrência de B não altera a probabilidade de A. Pela definição de probabilidade condicional, $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. Igualando a $P(A)$, temos $\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = P(A)$, o que implica $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$, que é exatamente a definição de independência. Portanto, a afirmativa está correta.

Item III — ✅ Correto

A probabilidade condicional de A dado B é definida como a razão entre a probabilidade da interseção e a probabilidade de B, desde que $P(B) > 0$. Esta é a definição clássica, e a afirmativa está correta.

Item IV — ✅ Correto

Se A e B são mutuamente exclusivos, então $A \cap B = \emptyset$, logo $P(A \cap B) = 0$. Assim, $P(A|B) = \frac{0}{P(B)} = 0$ para $P(B) > 0$. A afirmativa está correta.

Item V — ❌ Incorreto

Eventos mutuamente exclusivos não são sempre independentes. Na verdade, se $P(A) > 0$ e $P(B) > 0$, e A e B são mutuamente exclusivos, então $P(A \cap B) = 0$, mas $P(A) \cdot P(B) > 0$, logo $P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$, o que viola a definição de independência. Portanto, eles são dependentes. A afirmativa está incorreta.

Conclusão: Corretas: I, II, III e IV → portanto a alternativa é a letra D.