Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — FGV 2025

Axiomas da Probabilidade e Regras de União, Complementar e Independência

Gabarito: letra A. Estão corretas as afirmações I, II e III, apenas. A afirmação IV está errada porque eventos independentes não têm, necessariamente, interseção com probabilidade zero — a independência implica $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$, e não que essa interseção seja vazia. Os axiomas de Kolmogorov (probabilidade do espaço amostral igual a 1, não negatividade e aditividade para eventos mutuamente exclusivos) sustentam as três primeiras afirmações.

A questão cobra os fundamentos da teoria da probabilidade, especificamente os axiomas de Kolmogorov e as regras de probabilidade que deles decorrem. Vamos revisar cada conceito para fixar o que a banca espera.

Axiomas de Kolmogorov (a base de tudo):

1. $P(A) \geq 0$ para todo evento $A$ (probabilidade nunca é negativa);

2. $P(S) = 1$, onde $S$ é o espaço amostral (a probabilidade do evento certo é 1);

3. Se $A_1, A_2, \ldots$ são eventos mutuamente exclusivos (disjuntos), então $P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)$ (aditividade para eventos disjuntos).

A partir desses axiomas, derivam-se as regras mais usadas:

• Probabilidade do complementar: $P(A^c) = 1 - P(A)$ — pois $A$ e $A^c$ são mutuamente exclusivos e sua união é o espaço amostral.

• Regra da adição (união): $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Quando $A$ e $B$ são mutuamente exclusivos, $P(A \cap B) = 0$, e a fórmula se reduz a $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

• Independência: $A$ e $B$ são independentes se $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Isso não exige que a interseção seja vazia — eventos independentes podem ocorrer juntos (ex.: lançar dois dados e obter 6 em ambos).

A pegadinha da banca está justamente em confundir independência com mutuamente exclusivos. Eventos mutuamente exclusivos não podem ocorrer juntos ($P(A \cap B) = 0$), enquanto eventos independentes podem ocorrer juntos, e a probabilidade da interseção é o produto das probabilidades individuais. Essa distinção é clássica e muito cobrada.

Item I — ✅ Correto

A afirmação "A probabilidade do espaço amostral S é igual a 1, ou seja, P(S) = 1" é exatamente o segundo axioma de Kolmogorov. É a condição de normalização: a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis é 1. Por exemplo, no lançamento de um dado, $P(\{1,2,3,4,5,6\}) = 1$.

Item II — ✅ Correto

Se $A$ e $B$ são mutuamente exclusivos (disjuntos), então $P(A \cap B) = 0$. Pela regra geral da adição, $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$, que se reduz a $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$. Isso decorre diretamente do terceiro axioma (aditividade para eventos disjuntos).

Item III — ✅ Correto

A afirmação "$P(A^c) = 1 - P(A)$" é uma proposição derivada dos axiomas. Como $A$ e $A^c$ são mutuamente exclusivos e $A \cup A^c = S$, temos $P(S) = P(A) + P(A^c) = 1$, logo $P(A^c) = 1 - P(A)$. É uma das relações mais usadas em problemas de probabilidade.

Item IV — ❌ Incorreto

A afirmação "Se A e B são eventos independentes, então a probabilidade de sua interseção é zero" é falsa. Independência significa que a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro, e a regra é:

Essa probabilidade só é zero se $P(A) = 0$ ou $P(B) = 0$ — ou seja, se um dos eventos for impossível. Em geral, eventos independentes podem ocorrer simultaneamente. Por exemplo, lançar uma moeda e um dado: os eventos "cara" e "sair 6" são independentes, e a probabilidade de ambos ocorrerem é $\frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \neq 0$.

Gabarito: letra A — corretos apenas os itens I, II e III.