Estatística · FGV · 2025 | Questão sqc-fg125755

Medidas de posição e dispersão: mediana, desvio interquartil e desvio absoluto médio

Gabarito: letra B. Para o conjunto ordenado 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, a mediana é 7,5 (média dos dois termos centrais), o desvio interquartil é 3,0 (Q3 − Q1 = 9 − 6) e o desvio absoluto médio é 1,3 (média dos desvios absolutos em relação à média 7,5). A alternativa B é a única que combina os três valores corretamente.

Vamos por partes. A mediana é a medida de tendência central que divide o conjunto ordenado ao meio. Com 10 dados (n par), a mediana é a média aritmética dos dois termos centrais — o 5º e o 6º valores. Ordenando os dados: 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10. O 5º termo é 7 e o 6º é 8, logo:

Md = \frac{7 + 8}{2} = 7{,}5

O desvio interquartil (ou amplitude interquartílica) é a diferença entre o terceiro quartil (Q3) e o primeiro quartil (Q1). Para calcular os quartis com n = 10, usamos as posições: Q1 está na posição $\frac{n+1}{4} = \frac{11}{4} = 2{,}75$ (interpolação entre o 2º e o 3º termos) e Q3 na posição $\frac{3(n+1)}{4} = \frac{33}{4} = 8{,}25$ (interpolação entre o 8º e o 9º termos). Assim:

Q1 = 6 + 0,75 × (6 − 6) = 6
Q3 = 9 + 0,25 × (9 − 9) = 9

Portanto, o desvio interquartil é:

DQ = Q3 - Q1 = 9 - 6 = 3{,}0

O desvio absoluto médio (DAM) é a média aritmética dos valores absolutos dos desvios em relação à média. Primeiro, calculamos a média:

\bar{x} = \frac{5+6+6+7+7+8+8+9+9+10}{10} = \frac{75}{10} = 7{,}5

Agora, os desvios absolutos: |5−7,5| = 2,5; |6−7,5| = 1,5 (duas vezes); |7−7,5| = 0,5 (duas vezes); |8−7,5| = 0,5 (duas vezes); |9−7,5| = 1,5 (duas vezes); |10−7,5| = 2,5. Somando: 2,5 + 1,5 + 1,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 + 1,5 + 1,5 + 2,5 = 13. Dividindo por 10:

DAM = \frac{13}{10} = 1{,}3

A pegadinha da questão está em dois pontos: (1) confundir a mediana com a média (que também é 7,5 aqui, mas nem sempre) ou com o 5º termo (7); (2) errar o desvio interquartil calculando Q1 e Q3 por métodos diferentes (alguns livros usam a posição $\frac{n}{4}$ e $\frac{3n}{4}$ , o que daria Q1 = 6 e Q3 = 9 também, mas em outros conjuntos pode divergir). Além disso, o desvio absoluto médio é frequentemente confundido com o desvio padrão, que seria maior (≈1,5).

Medidas de posição e dispersão — só Medidas corretas: 7,5; 3,0; 1,3; só Alternativa B: gabarito; Medidas corretas∩Alternativa B: valores coincidem

Alternativa A — ❌ Incorreta

O desvio interquartil está errado: apresenta 2,0 em vez de 3,0. Quem marca esta opção provavelmente calculou Q1 = 7 e Q3 = 9 (ou Q1 = 6 e Q3 = 8), o que não corresponde à definição correta dos quartis para este conjunto. A mediana (7,5) e o DAM (1,3) estão corretos.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta exatamente os três valores calculados: mediana 7,5, desvio interquartil 3,0 e desvio absoluto médio 1,3. Todos conferem com os cálculos acima.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O desvio absoluto médio está errado: traz 1,5 em vez de 1,3. O valor 1,5 corresponde ao desvio padrão amostral aproximado (ou a um erro de cálculo do DAM, como dividir por n−1 = 9 em vez de n = 10). Mediana e desvio interquartil estão corretos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A mediana está errada: apresenta 8,0 em vez de 7,5. Quem marca 8,0 provavelmente considerou o 6º termo isoladamente (8) ou usou a moda. O desvio interquartil (3,0) está correto, mas o DAM aparece como fração 13/11, que não corresponde a nenhuma medida usual (13/11 ≈ 1,18).

Alternativa E — ❌ Incorreta

A mediana está errada (8,0 em vez de 7,5) e o desvio interquartil também (2,0 em vez de 3,0). O DAM (1,5) está incorreto, pois o valor correto é 1,3. Esta alternativa acumula três erros.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre mediana e média (aqui ambas são 7,5, mas em outros conjuntos diferem) e entre desvio absoluto médio e desvio padrão (1,3 vs. 1,5). Além disso, o cálculo dos quartis pode variar conforme o método — fique atento à definição usada pela banca (posição (n+1)/4 e 3(n+1)/4).

PEGA ESSA DICA!

Para não errar, ordene sempre os dados antes de calcular mediana e quartis. Para o DAM, lembre-se: é a média dos módulos dos desvios, não a raiz da média dos quadrados (isso é o desvio padrão). Treine com conjuntos pequenos para fixar o passo a passo.

Gabarito: letra B.