Questão de Estatística — Inferência estatística — FGV 2026

Inferência Bayesiana: Distribuição a Posteriori

Gabarito: letra B. A distribuição a posteriori de um parâmetro $\theta$ de uma distribuição Bernoulli, com distribuição a priori Beta($\alpha, \beta$), é uma distribuição Beta com parâmetros $\alpha + \sum_{i=1}^{n} x_i$ e $\beta + n - \sum_{i=1}^{n} x_i$.

Na inferência bayesiana, o objetivo é atualizar a crença sobre um parâmetro $\theta$ após observar dados amostrais. Quando a distribuição a priori e a distribuição a posteriori pertencem à mesma família de distribuições, dizemos que a priori é uma distribuição conjugada para a verossimilhança. No caso da distribuição Bernoulli (ou Binomial), a distribuição Beta é a conjugada natural.

Seja $X_1, \dots, X_n$ uma amostra aleatória de uma Bernoulli($\theta$), a função de verossimilhança é dada por $L(\theta) = \theta^{\sum x_i} (1-\theta)^{n-\sum x_i}$. Se a priori é Beta($\alpha, \beta$), sua densidade é proporcional a $\theta^{\alpha-1} (1-\theta)^{\beta-1}$. A distribuição a posteriori é proporcional ao produto da verossimilhança pela priori:

Comparando com a forma funcional da distribuição Beta($\alpha', \beta'$), identificamos que os novos parâmetros são $\alpha' = \alpha + \sum x_i$ e $\beta' = \beta + n - \sum x_i$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Os parâmetros apresentados não correspondem à soma correta dos sucessos e falhas observados na amostra, falhando em atualizar corretamente a priori Beta.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa apresenta corretamente os novos parâmetros da distribuição a posteriori, onde $\alpha$ é acrescido do número total de sucessos ($\sum x_i$) e $\beta$ é acrescido do número total de falhas ($n - \sum x_i$).

Alternativa C — ❌ Incorreta

Esta opção subtrai incorretamente o número de sucessos de $\alpha$ e adiciona apenas o tamanho da amostra a $\beta$, o que não reflete a atualização bayesiana.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Embora o primeiro parâmetro esteja correto, o segundo parâmetro subtrai a soma dos sucessos de $\beta$ sem considerar o tamanho da amostra $n$, resultando em uma formulação incorreta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Esta alternativa sugere uma atualização baseada em apenas um sucesso (adicionando 1), o que seria válido apenas para uma amostra de tamanho 1 ou uma atualização específica, não sendo a regra geral para uma amostra de tamanho $n$.