Questão de Estatística — Inferência estatística — FGV 2026

Tamanho da amostra para estimação de proporção

Gabarito: letra D. Para garantir, com 99% de probabilidade, que a proporção amostral não se afaste da proporção populacional por mais de 1%, o tamanho mínimo da amostra é dado por $n = \dfrac{z_{\alpha/2}^2 \cdot p \cdot q}{E^2}$. Como não se conhece $p$, usa-se o caso mais desfavorável, $p = 0{,}5$, e o valor crítico para 99% é $z = 2{,}58$ (dado na questão). Substituindo: $n = \dfrac{2{,}58^2 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5}{0{,}01^2} = 16.641$.

A questão é uma aplicação direta da fórmula de tamanho de amostra para estimação de proporção, que decorre da distribuição amostral da proporção (aproximação normal pelo Teorema Central do Limite). O erro máximo admissível é $E = 0{,}01$ (1%), o nível de confiança é 99%, e o valor crítico correspondente é $z = 2{,}58$ — fornecido no enunciado como $P[Z < 2{,}58] = 0{,}995$, o que implica $P[|Z| < 2{,}58] = 0{,}99$.

A pegadinha clássica da banca é usar o valor crítico errado: para 95% de confiança, $z = 1{,}96$; para 99%, $z = 2{,}58$. Quem usa 1,96 obtém $n \approx 9.604$, que não está nas alternativas, mas quem usa 2,33 (percentil 99% unilateral) obtém $n \approx 13.573$, também fora. O valor 2,58 é o único que leva a 16.641. Além disso, a banca explora o caso de máxima variância: como $p$ é desconhecido, adota-se $p = 0{,}5$, que maximiza o produto $p(1-p)$ e, portanto, o tamanho da amostra — garantindo a margem de erro para qualquer valor real de $p$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 2.001 resultaria de usar $z = 0{,}9$ (ou de um erro grosseiro de cálculo). Não corresponde a nenhum nível de confiança usual. Para 99%, o valor correto é 16.641.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 4.256 é próximo de $n = \dfrac{1{,}96^2 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5}{0{,}015^2} \approx 4.267$, ou seja, usaria confiança de 95% e erro de 1,5%. Não atende ao enunciado (99% e 1%).

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 8.358 é aproximadamente $n = \dfrac{1{,}96^2 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5}{0{,}01^2} \approx 9.604$ (com erro de 1% e confiança de 95%). Não atende ao nível de 99%.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando a fórmula com $z = 2{,}58$, $p = q = 0{,}5$ e $E = 0{,}01$:

Como o resultado é exato, o tamanho mínimo é 16.641.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 22.340 é maior que o necessário. Poderia resultar de usar $z = 2{,}99$ (aproximação grosseira) ou de erro de arredondamento. Não é o mínimo exigido.

Gabarito: letra D.