Estatística · FGV · 2026 | Questão sqc-fg127037

Família exponencial de distribuições

Gabarito: letra E. Todas as quatro distribuições — Bernoulli(θ), Poisson(λ), Geométrica(θ) e Normal(μ, 1) — pertencem à família exponencial, pois suas funções de probabilidade/densidade podem ser escritas na forma canônica $f(x|\theta) = h(x) \cdot c(\theta) \cdot \exp\left(\sum_{j} w_j(\theta) \cdot t_j(x)\right)$ . A questão testa exatamente o reconhecimento dessa forma geral, e a alternativa E é a única que inclui todas.

A família exponencial é uma classe ampla de distribuições que compartilham uma estrutura algébrica comum, o que permite tratar muitas inferências de forma unificada (estimação por máxima verossimilhança, estatísticas suficientes, conjugação bayesiana etc.). A definição formal exige que a função de probabilidade (discreta) ou densidade (contínua) possa ser fatorada como:

f(x|\theta) = h(x) \cdot c(\theta) \cdot \exp\left(\sum_{j=1}^{k} w_j(\theta) \cdot t_j(x)\right)

em que $h(x)$ depende apenas de $x$ , $c(\theta)$ apenas do parâmetro, e $w_j(\theta)$ e $t_j(x)$ são funções que podem ser vetoriais. A chave é que o parâmetro e a variável aparecem separados em um produto, com o expoente sendo uma combinação linear de funções do parâmetro multiplicadas por funções da variável.

Vamos verificar cada distribuição:

Bernoulli(θ): $p(x|\theta) = \theta^x (1-\theta)^{1-x} = (1-\theta) \cdot \exp\left(x \cdot \ln\frac{\theta}{1-\theta}\right)$ . Aqui $h(x)=1$ , $c(\theta)=1-\theta$ , $w(\theta)=\ln\frac{\theta}{1-\theta}$ e $t(x)=x$ . ✅
Poisson(λ): $p(x|\lambda) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!} = \frac{1}{x!} \cdot e^{-\lambda} \cdot \exp(x \ln\lambda)$ . ✅
Geométrica(θ): $p(x|\theta) = (1-\theta)^{x-1}\theta = \frac{\theta}{1-\theta} \cdot \exp\left(x \cdot \ln(1-\theta)\right)$ (na parametrização do número de tentativas até o primeiro sucesso). ✅
Normal(μ, 1): $f(x|\mu) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} \cdot e^{-\mu^2/2} \cdot \exp(x\mu)$ . ✅

Todas se encaixam na forma canônica, portanto a resposta correta é a letra E.

Família exponencial: Forma canônica (h(x) · c(θ) · exp(Σ wⱼ(θ)·tⱼ(x)), Parâmetro e variável separados); Pertencem (Bernoulli(θ), Poisson(λ), Geométrica(θ), Normal(μ, 1)); Não pertencem (Uniforme com limites desconhecidos, t de Student)

Item I — ✅ Correto

A distribuição de Bernoulli(θ) pertence à família exponencial. Sua função de probabilidade pode ser reescrita como:

p(x|\theta) = \theta^x (1-\theta)^{1-x} = (1-\theta) \cdot \exp\left(x \cdot \ln\frac{\theta}{1-\theta}\right)

com $h(x)=1$ , $c(\theta)=1-\theta$ , $w(\theta)=\ln\frac{\theta}{1-\theta}$ e $t(x)=x$ . A forma canônica é satisfeita.

Item II — ✅ Correto

A distribuição de Poisson(λ) também pertence. Sua função de probabilidade:

p(x|\lambda) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!} = \frac{1}{x!} \cdot e^{-\lambda} \cdot \exp(x \ln\lambda)

com $h(x)=1/x!$ , $c(\lambda)=e^{-\lambda}$ , $w(\lambda)=\ln\lambda$ e $t(x)=x$ .

Item III — ✅ Correto

A distribuição Geométrica(θ) pertence. Na parametrização usual (número de tentativas até o primeiro sucesso):

p(x|\theta) = (1-\theta)^{x-1}\theta = \frac{\theta}{1-\theta} \cdot \exp\left(x \cdot \ln(1-\theta)\right)

com $h(x)=1$ , $c(\theta)=\frac{\theta}{1-\theta}$ , $w(\theta)=\ln(1-\theta)$ e $t(x)=x$ .

Item IV — ✅ Correto

A distribuição Normal(μ, 1) pertence, mesmo com variância conhecida (fixa em 1). Sua densidade:

f(x|\mu) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} \cdot e^{-\mu^2/2} \cdot \exp(x\mu)

com $h(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$ , $c(\mu)=e^{-\mu^2/2}$ , $w(\mu)=\mu$ e $t(x)=x$ . A variância fixa não impede a forma exponencial; apenas reduz a dimensão do parâmetro natural.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a dúvida sobre a distribuição Geométrica e a Normal. Muitos candidatos acham que a Geométrica não pertence por ser "discreta e sem memória", mas ela se encaixa perfeitamente na forma exponencial. Já a Normal com variância conhecida (σ² = 1) é um caso clássico de família exponencial — o parâmetro μ aparece no expoente de forma linear. Não confunda "pertencer à família exponencial" com "ter forma exponencial" (como a distribuição exponencial): a família exponencial é um conceito muito mais amplo.

PEGA ESSA DICA!

Para verificar se uma distribuição pertence à família exponencial, tente reescrever sua função de probabilidade/densidade na forma $f(x|\theta) = h(x) \cdot c(\theta) \cdot \exp(w(\theta) \cdot t(x))$ . Se conseguir separar $x$ e $\theta$ em fatores multiplicativos e o expoente for linear em $t(x)$ , ela pertence. Distribuições que não pertencem incluem a distribuição uniforme com limites desconhecidos (o suporte depende do parâmetro) e a distribuição t de Student (não é da família exponencial). Memorize os exemplos clássicos que pertencem: Bernoulli, Binomial, Poisson, Geométrica, Binomial Negativa, Exponencial, Gama, Normal (com variância conhecida ou desconhecida), Beta, entre outras.

Gabarito: letra E — todos os itens (I, II, III e IV) estão corretos.