Questão de Estatística — Modelos lineares — FGV 2026

Pressupostos do Modelo de Regressão Linear Simples

Gabarito: letra E. No modelo de regressão linear simples $Y = \alpha + \beta X + \varepsilon$, os pressupostos clássicos sobre os erros $ε_i$ são exatamente os três listados: não correlacionados, com média zero e variância constante $σ^2$ (homocedasticidade) e, para fins de inferência, com distribuição Normal. Todos os itens I, II e III estão corretos.

O modelo de regressão linear simples descreve a relação entre uma variável dependente $Y$ e uma variável independente $X$ por meio de uma reta, mais um termo de erro aleatório $ε$ que captura a variabilidade não explicada pela relação linear. Os pressupostos sobre esse erro são o coração da teoria: sem eles, os estimadores de mínimos quadrados perdem propriedades desejáveis (como eficiência) e os testes de hipóteses perdem validade.

A distinção que importa aqui é entre os pressupostos necessários para estimação (I e II) e o pressuposto necessário para inferência (III). Para que os estimadores de mínimos quadrados sejam não viesados e consistentes, basta que os erros tenham média zero e não sejam correlacionados com a variável explicativa. A normalidade, por sua vez, é exigida para que as estatísticas de teste (t, F) e os intervalos de confiança tenham distribuições exatas em amostras pequenas — embora, com amostras grandes, o Teorema Central do Limite garanta aproximações válidas mesmo sem normalidade.

A pegadinha que a banca explora é justamente a tentação de descartar a normalidade como pressuposto "dispensável". Muitos candidatos lembram que a normalidade não é necessária para a estimação pontual, mas esquecem que ela é um pressuposto clássico do modelo completo, especialmente quando se deseja fazer inferência. A questão pede o que se pressupõe no modelo — e o modelo clássico pressupõe os três.

Item I — ✅ Correto

Os erros $ε_i$ são não correlacionados. Isso significa que a covariância entre quaisquer dois erros distintos é zero: $\text{Cov}(ε_i, ε_j) = 0$ para $i \neq j$. Esse pressuposto garante que não há padrão sistemático nos erros — por exemplo, que o erro de uma observação não influencia o erro da seguinte (o que ocorreria em dados de séries temporais com autocorrelação). É um dos pressupostos centrais do modelo clássico.

Item II — ✅ Correto

Os erros têm média zero e variância comum $σ^2$. A média zero ($E(ε_i) = 0$) assegura que o modelo está corretamente especificado em média — não há viés sistemático. A variância constante ($\text{Var}(ε_i) = σ^2$ para todo $i$) é a homocedasticidade: a dispersão dos erros não depende do valor de $X$. Se a variância variasse com $X$, teríamos heterocedasticidade, o que comprometeria a eficiência dos estimadores e a validade dos testes.

Item III — ✅ Correto

Os erros têm distribuição Normal. Esse pressuposto é necessário para a inferência estatística: permite derivar as distribuições exatas dos estimadores e das estatísticas de teste (t, F) em amostras finitas. Com $\u03b5_i \sim N(0, σ^2)$, os estimadores de mínimos quadrados também seguem distribuição Normal, e a razão entre o estimador e seu erro padrão segue distribuição t de Student. Sem normalidade, os testes só são válidos assintoticamente (com amostras grandes).

Conclusão: os três itens estão corretos — I, II e III. Portanto, a alternativa correta é a letra E.

Gabarito: letra E