Questão de Estatística — Modelos lineares — FGV 2026

Regressão Linear Simples: Estimador de Mínimos Quadrados

Gabarito: letra A. O estimador de mínimos quadrados ordinários (MQO) para o coeficiente angular $\hat{\beta}$ em um modelo de regressão linear simples $Y = \alpha + \beta X + \varepsilon$ é dado pela fórmula computacional $\hat{\beta} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i y_i - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n \bar{x}^2}$.

No método dos mínimos quadrados, buscamos minimizar a soma dos quadrados dos resíduos $SQE = \sum (y_i - \hat{\alpha} - \hat{\beta} x_i)^2$. Ao derivar essa função em relação a $\alpha$ e $\beta$ e igualar a zero, obtemos as equações normais. A solução para o coeficiente angular $\hat{\beta}$ pode ser expressa de várias formas equivalentes, sendo a mais comum em provas a que utiliza os desvios em relação às médias: $\hat{\beta} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2}$.

A alternativa A apresenta a forma computacional expandida dessa expressão. Para chegar nela, basta expandir os termos do numerador e do denominador da fórmula base. No numerador, $\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \sum x_i y_i - n \bar{x} \bar{y}$. No denominador, $\sum (x_i - \bar{x})^2 = \sum x_i^2 - n \bar{x}^2$. A igualdade entre essas formas é um resultado algébrico fundamental na estatística aplicada.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa apresenta a fórmula correta do estimador $\hat{\beta}$ utilizando a notação de somatórios e médias amostrais, que é a forma padrão para cálculos manuais ou computacionais diretos a partir de dados brutos.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O numerador está incorreto, pois utiliza apenas a média de $x$ ($\bar{x}$) em vez do produto das médias ($n \bar{x} \bar{y}$), o que não condiz com a derivação algébrica do estimador.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Esta alternativa inverte a posição do numerador e do denominador, apresentando o inverso do estimador correto.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O numerador apresenta uma soma incorreta ($+ n \bar{x} \bar{y}$) em vez da subtração necessária para o cálculo da covariância amostral.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O denominador está incompleto, pois omite o termo de correção da média ($n \bar{x}^2$), o que resultaria em um estimador viesado e incorreto para o modelo de regressão.