Questão de Estatística — Inferência estatística — FGV 2026

Teste qui-quadrado de independência: graus de liberdade

Gabarito: letra C. No teste qui-quadrado de independência entre dois atributos organizados em uma tabela de contingência com $L$ linhas e $C$ colunas, o número de graus de liberdade é $(L-1)(C-1)$. Como o atributo A tem 6 classes e o atributo B tem 5, temos $GL = (6-1)(5-1) = 5 \times 4 = 20$.

O teste qui-quadrado de independência é usado para verificar se existe associação entre duas variáveis categóricas. A hipótese nula é que as variáveis são independentes, ou seja, a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades marginais: $H_0: p_{ij} = p_{i.} \cdot p_{.j}$ para todo par $(i,j)$. A estatística de teste é calculada comparando as frequências observadas com as esperadas sob independência, e, para amostras grandes, segue aproximadamente uma distribuição qui-quadrado.

O número de graus de liberdade reflete quantas caselas da tabela são "livres" para variar, dado que os totais marginais são fixados. Em uma tabela com $L$ linhas e $C$ colunas, fixados os totais de linha e coluna, apenas $(L-1)(C-1)$ caselas podem ser preenchidas livremente; as demais ficam determinadas. Essa é a razão da fórmula.

A pegadinha clássica da banca é confundir o número de classes com o número de graus de liberdade, marcando 30 (produto direto 6×5) ou esquecendo de subtrair 1 de cada dimensão. Outra confusão comum é usar $n-1$, que é o grau de liberdade de outros testes (como o teste t para uma média), mas não se aplica aqui.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 1 seria o grau de liberdade de uma tabela 2×2, pois $(2-1)(2-1) = 1$. Aqui temos 6×5, então não se aplica.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 2 não corresponde a nenhuma combinação simples das dimensões dadas. Não há justificativa teórica para esse número.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando a fórmula $GL = (L-1)(C-1)$ com $L=6$ e $C=5$, obtemos $GL = 5 \times 4 = 20$. É exatamente o que a alternativa afirma.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 30 é o produto direto das classes (6×5), sem subtrair 1 de cada dimensão. É o erro clássico de quem decora a fórmula errada.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$n-1$ é o grau de liberdade de outros testes, como o teste t para uma média ou o qui-quadrado de aderência com $k$ categorias (onde $GL = k-1$). No teste de independência, o tamanho da amostra $n$ não entra diretamente na fórmula dos graus de liberdade.

Gabarito: letra C