Estatística · FGV · 2026 | Questão sqc-fg127042

Teste de hipóteses para a média com variância conhecida: cálculo do p-valor

Gabarito: letra A. O p-valor é a probabilidade de, sob a hipótese nula, a estatística de teste assumir um valor tão ou mais extremo que o observado. Como a variância populacional é conhecida (64) e a amostra tem tamanho 25, a estatística de teste segue distribuição normal padrão: $Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$ . Substituindo os valores, obtém-se $Z = \frac{124 - 120}{8/5} = 2,5$ . Para o teste unilateral à direita ( $H_1: \mu > 120$ ), o p-valor é $P(Z > 2,5) \approx 0,006$ .

O problema envolve um teste de hipóteses para a média de uma população normal com variância conhecida. Nesse caso, a estatística de teste é:

Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}

onde $\bar{x}$ é a média amostral, $\mu_0$ é o valor da média sob a hipótese nula, $\sigma$ é o desvio padrão populacional e $n$ é o tamanho da amostra. Como a variância populacional é $\sigma^2 = 64$ , o desvio padrão é $\sigma = 8$ . Com $n = 25$ , o erro padrão da média é $\sigma/\sqrt{n} = 8/5 = 1,6$ .

Substituindo os valores do enunciado ( $\bar{x} = 124$ , $\mu_0 = 120$ ):

Z = \frac{124 - 120}{1,6} = \frac{4}{1,6} = 2,5

A hipótese alternativa é $H_1: \mu > 120$ , portanto o teste é unilateral à direita. O p-valor é a área sob a curva normal padrão à direita de $Z = 2,5$ , ou seja, $P(Z > 2,5)$ . Consultando a tabela da distribuição normal padrão, $P(Z < 2,5) \approx 0,9938$ , logo $P(Z > 2,5) \approx 1 - 0,9938 = 0,0062$ , que é aproximadamente 0,006.

A pegadinha clássica nesse tipo de questão é esquecer que o teste é unilateral e calcular a área dos dois lados (teste bilateral), o que daria aproximadamente 0,012. Outra armadilha é usar a variância amostral (se fosse desconhecida) e cair na distribuição t de Student, mas aqui a variância populacional é fornecida, então o caminho é a normal padrão.

Teste de hipóteses para média — só Região de rejeição: 0,006; só Região de não rejeição: 0,994; Região de rejeição∩Região de não rejeição: 0

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O cálculo correto do p-valor para o teste unilateral à direita resulta em $P(Z > 2,5) \approx 0,006$ . Este é o valor que a banca espera, e corresponde exatamente à alternativa A.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 0,06 seria obtido se a estatística de teste fosse $Z \approx 1,55$ (pois $P(Z > 1,55) \approx 0,06$ ), o que não ocorre com os dados fornecidos. Esse distrator pode atrair quem erra o cálculo do erro padrão, por exemplo, usando $\sqrt{64} = 8$ mas dividindo por $\sqrt{25} = 5$ de forma incorreta, ou quem confunde o p-valor com o nível de significância.

Alternativa C — ❌ Incorreta

0,12 é o dobro de 0,06 e se aproxima do p-valor bilateral (0,012) multiplicado por 10, mas não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados. Pode ser um distrator para quem usa a estatística $Z = 1,25$ (errando o desvio padrão como 16, por exemplo) e consulta a tabela de forma equivocada.

Alternativa D — ❌ Incorreta

0,18 não tem relação com o cálculo correto. Poderia surgir de um erro na padronização, como usar $\sigma = 10$ (em vez de 8), resultando em $Z = 2,0$ e $P(Z > 2,0) \approx 0,023$ , que não é 0,18. É um distrator puramente numérico.

Alternativa E — ❌ Incorreta

0,24 também não corresponde a nenhum valor obtido com os dados. Se o aluno calcular $Z = 0,7$ (por exemplo, usando $\sigma = 20$ ), teria $P(Z > 0,7) \approx 0,24$ , mas isso não reflete o enunciado. A banca inclui esses valores para testar a precisão do cálculo e o conhecimento da tabela normal.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre teste unilateral e bilateral. No teste unilateral à direita, o p-valor é apenas a área à direita da estatística ( $P(Z > 2,5) \approx 0,006$ ). Se o candidato calcular a área dos dois lados, obteria $2 \times 0,006 = 0,012$ , que não está nas alternativas — mas pode levar a erros de aproximação. Outra pegadinha é usar a distribuição t de Student, que só se aplica quando a variância populacional é desconhecida; aqui ela é dada (64), então o caminho é a normal padrão. Fique atento: a presença da variância populacional no enunciado é o sinal para usar $Z$ , não $t$ .

PEGA ESSA DICA!

Para testes de hipóteses sobre a média, verifique primeiro se a variância populacional é conhecida. Se for, use a estatística $Z$ ; se não for, use a estatística $t$ com $n-1$ graus de liberdade. No cálculo do p-valor, identifique o tipo de teste (unilateral ou bilateral) e desenhe mentalmente a região: unilateral à direita → área à direita; unilateral à esquerda → área à esquerda; bilateral → área dos dois lados. Isso evita o erro mais comum nesse tipo de questão.

Gabarito: letra A.