Questão de Estatística — Inferência estatística — FGV 2026

Erro tipo I em teste de hipóteses para proporção

Gabarito: letra B. O erro tipo I é a probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é verdadeira. Como o critério rejeita H₀ se o número de sucessos for ≥ 4, e sob H₀ temos p = 0,5 com n = 5, calculamos P(X ≥ 4) = P(X = 4) + P(X = 5) usando a distribuição binomial, o que resulta em 0,1875.

O erro tipo I (α) é a probabilidade de cometer o erro de rejeitar a hipótese nula quando ela é, na verdade, verdadeira. No contexto do teste de hipóteses, a hipótese nula H₀: p = 0,5 é assumida como verdadeira para o cálculo desse erro. A região crítica do teste é definida pelo critério do enunciado: rejeitar H₀ se o número de sucessos na amostra for maior ou igual a 4. Portanto, α = P(X ≥ 4 | p = 0,5), onde X segue uma distribuição binomial com parâmetros n = 5 e p = 0,5.

A distribuição binomial modela o número de sucessos em uma sequência de n experimentos independentes, cada um com probabilidade de sucesso p. A função de probabilidade é dada por:

Neste caso, n = 5 e, sob H₀, p = 0,5. Precisamos calcular a probabilidade de obter 4 ou 5 sucessos:

• Para k = 4: $P(X = 4) = \binom{5}{4} (0,5)^4 (0,5)^1 = 5 \times 0,0625 \times 0,5 = 0,15625$

• Para k = 5: $P(X = 5) = \binom{5}{5} (0,5)^5 (0,5)^0 = 1 \times 0,03125 \times 1 = 0,03125$

Somando: α = 0,15625 + 0,03125 = 0,1875.

A pegadinha clássica da banca é usar o valor de p da hipótese alternativa (p = 0,8) no cálculo do erro tipo I. O erro tipo I é definido sob a hipótese nula, ou seja, devemos usar p = 0,5. Se o candidato usar p = 0,8, obteria P(X ≥ 4) = 0,4096 + 0,32768 = 0,73728, que não está entre as alternativas, mas mostra a confusão conceitual. O erro tipo II, por outro lado, seria calculado sob H₁ (p = 0,8), mas não é o que a questão pede.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,1225 não corresponde a nenhuma probabilidade binomial relevante para este teste. Ele poderia ser obtido por um cálculo incorreto, como usar apenas P(X = 4) com p = 0,5 e errar a combinação, ou usar p = 0,7 em algum cálculo. Não há fundamento teórico para esse valor.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, α = P(X ≥ 4) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0,15625 + 0,03125 = 0,1875. Este é exatamente o valor da alternativa, que corresponde à probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é verdadeira, usando p = 0,5.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 0,2225 não corresponde a nenhuma probabilidade binomial para n = 5. Poderia ser resultado de um erro de cálculo, como usar P(X ≥ 3) = 0,3125 + 0,15625 + 0,03125 = 0,5, ou confundir com outro critério de rejeição. Não há base teórica para esse número.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 0,2525 também não corresponde a nenhuma probabilidade binomial relevante. Poderia ser obtido por um cálculo incorreto, como usar p = 0,6 ou p = 0,7 no cálculo de P(X ≥ 4), mas não é o valor correto para o erro tipo I.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 0,3275 não corresponde a nenhuma probabilidade binomial para n = 5. Poderia ser resultado de usar P(X ≥ 3) com p = 0,5, que é 0,5, ou algum outro erro de cálculo. Não há fundamento teórico para esse valor.

Gabarito: letra B