Estatística · FGV · 2026 | Questão sqc-fg127046

Estimador pelo Método dos Momentos para a Distribuição Exponencial

Gabarito: letra C. O método dos momentos consiste em igualar os momentos populacionais aos momentos amostrais correspondentes e resolver o sistema para o parâmetro de interesse. Para uma variável aleatória $X$ com distribuição exponencial $f(x; \theta) = \theta e^{-\theta x}$ , o primeiro momento populacional (a média) é $E[X] = 1/\theta$ . Igualando ao primeiro momento amostral, temos $\bar{X} = 1/\hat{\theta}$ , o que resulta no estimador $\hat{\theta} = 1/\bar{X} = n/\sum_{i=1}^{n} X_i$ .

O método dos momentos é uma técnica clássica de estimação pontual que não exige o conhecimento da forma funcional completa da distribuição, apenas a existência dos momentos. No caso da distribuição exponencial, a média populacional é o inverso do parâmetro de taxa $\theta$ . Ao substituir a média populacional pela média amostral $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ , obtemos a estimativa que iguala a média teórica à observada.

Estimadores de θ na Exponencial — só Corretos: 1; só Incorretos: 4; Corretos∩Incorretos: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta expressão representa a média amostral $\bar{X}$ , que é o estimador pelo método dos momentos para a média populacional $\mu$ , e não para o parâmetro $\theta$ da distribuição exponencial.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Esta fórmula não corresponde a um estimador padrão derivado do método dos momentos para este parâmetro; ela introduz um fator de correção $(n-1)$ que não decorre da igualdade entre a média teórica e a média amostral.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, ao igualar $E[X] = 1/\theta$ com $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum X_i$ , isolamos $\theta$ para obter $\hat{\theta} = \frac{n}{\sum X_i}$ , que é exatamente a expressão apresentada.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta uma forma que não mantém a consistência dimensional esperada para o estimador de $\theta$ (que deve ter dimensão de inverso da variável $X$ ).

Alternativa E — ❌ Incorreta

Esta expressão utiliza o divisor $(n-1)$ , típico da variância amostral corrigida, o que é incorreto para a derivação do estimador de momentos para o parâmetro de taxa da exponencial.

PEGA ESSA DICA!

O método dos momentos é muito direto: sempre comece escrevendo a esperança $E[X]$ em função do parâmetro e iguale à média amostral $\bar{X}$ . Se o parâmetro for a média, o estimador é a própria média amostral; se for o inverso da média (como na exponencial), o estimador será o inverso da média amostral.