Estatística · FGV · 2026 | Questão sqc-fg127048

Probabilidade com reposição: distribuição binomial

Gabarito: letra C. A probabilidade de sortear menos de duas bolas azuis em 4 retiradas com reposição é de aproximadamente 48%, pois o número de bolas azuis segue uma distribuição binomial com parâmetros $n=4$ e $p=0{,}4$ , e devemos somar as probabilidades de $X=0$ e $X=1$ .

O problema envolve um experimento com reposição, o que garante que cada retirada é independente e a probabilidade de sucesso (sair bola azul) permanece constante em $p = \frac{4}{10} = 0{,}4$ . Nessas condições, o número de bolas azuis em 4 retiradas é uma variável aleatória com distribuição binomial: $X \sim \text{Binomial}(n=4, p=0{,}4)$ . A probabilidade de exatamente $k$ sucessos é dada por:

P(X = k) = \binom{4}{k} p^k (1-p)^{4-k}

Queremos $P(X < 2) = P(X=0) + P(X=1)$ . Calculando:

$P(X=0) = \binom{4}{0} (0{,}4)^0 (0{,}6)^4 = 1 \times 1 \times 0{,}1296 = 0{,}1296$
$P(X=1) = \binom{4}{1} (0{,}4)^1 (0{,}6)^3 = 4 \times 0{,}4 \times 0{,}216 = 0{,}3456$

Somando: $0{,}1296 + 0{,}3456 = 0{,}4752 \approx 0{,}48 = 48\%$ .

A pegadinha clássica aqui é confundir com o caso sem reposição, que exigiria a distribuição hipergeométrica. Como o enunciado diz explicitamente "com reposição", a binomial é o modelo correto. Outra armadilha é esquecer de incluir o caso $X=0$ (nenhuma bola azul), calculando apenas $P(X=1)$ e obtendo aproximadamente 34,56%, o que não corresponde a nenhuma alternativa.

1Identificar n=4, p=0,4
2P(X<2) = P(X=0) + P(X=1)
3P(X=0) = 0,1296
4P(X=1) = 0,3456
5Soma = 0,4752 ≈ 48%

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Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 42% não corresponde ao cálculo correto. Ele pode surgir de um arredondamento equivocado ou de erro na soma das probabilidades. O valor exato é 47,52%, que arredonda para 48%, não 42%.

Alternativa B — ❌ Incorreta

45% também não é o resultado. Pode ser obtido se o aluno calcular apenas $P(X=1) = 0{,}3456$ e arredondar erroneamente, ou se usar $p=0{,}5$ por engano (como se houvesse 5 bolas azuis). Com $p=0{,}5$ , $P(X<2) = 0{,}0625 + 0{,}25 = 0{,}3125$ , que também não é 45%.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O cálculo correto é $P(X=0) + P(X=1) = 0{,}1296 + 0{,}3456 = 0{,}4752$ , que corresponde a aproximadamente 48%. Este é o valor que a banca espera.

Alternativa D — ❌ Incorreta

50% é um valor tentador, pois é a probabilidade de sair bola azul em uma única retirada ( $p=0{,}4$ não é 0,5, mas o candidato pode confundir). O valor correto é 47,52%, não 50%.

Alternativa E — ❌ Incorreta

54% está acima do valor correto. Pode resultar de erro ao calcular $P(X=2)$ e somar incorretamente, ou de usar a fórmula da binomial com $p=0{,}6$ (probabilidade de sair branca) de forma equivocada.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre com reposição (binomial) e sem reposição (hipergeométrica). Se fosse sem reposição, a probabilidade seria $\frac{\binom{4}{0}\binom{6}{4} + \binom{4}{1}\binom{6}{3}}{\binom{10}{4}} = \frac{15 + 80}{210} = \frac{95}{210} \approx 0{,}4524$ , ou seja, aproximadamente 45% — que é a alternativa B! Perceba como a banca coloca o valor da hipergeométrica como distrator. Fique atento à palavra "reposição" no enunciado: ela decide o modelo.

PEGA ESSA DICA!

Em questões de probabilidade com "com reposição", use sempre a distribuição binomial. Identifique $n$ (número de retiradas), $p$ (probabilidade de sucesso em cada retirada) e o evento pedido. Para "menos de duas", lembre-se de somar $P(X=0)$ e $P(X=1)$ . Treine também o caso sem reposição para reconhecer a diferença na hora da prova.

Gabarito: letra C.