Estatística · FGV · 2026 | Questão sqc-fg127049

Intervalo de confiança para proporção

Gabarito: letra E. Com 144 favoráveis em 400, a proporção amostral é $\hat{p} = 144/400 = 0,36$ . Para 95% de confiança, o valor crítico é $z = 1,96$ , e o erro máximo é $1,96 \times \sqrt{0,36 \times 0,64 / 400} = 1,96 \times 0,024 = 0,047$ . O intervalo é $0,36 \pm 0,047$ , aproximadamente $(0,31; 0,41)$ .

A questão pede um intervalo de confiança para a proporção populacional $p$ a partir de uma amostra aleatória simples. O estimador pontual é a proporção amostral $\hat{p} = X/n$ , onde $X$ é o número de sucessos na amostra. Pelo Teorema Central do Limite, para amostras grandes, $\hat{p}$ tem distribuição aproximadamente normal com média $p$ e desvio padrão $\sqrt{p(1-p)/n}$ . Como $p$ é desconhecido, usamos $\hat{p}$ no lugar de $p$ para estimar o desvio padrão (erro padrão).

A fórmula do intervalo de confiança para proporção é:

\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

Para 95% de confiança, $z_{\alpha/2} = 1,96$ (valor clássico da normal padrão).

Cálculo passo a passo:

Proporção amostral: $\hat{p} = 144/400 = 0,36$ .
Complemento: $1 - \hat{p} = 0,64$ .
Variância amostral da proporção: $\hat{p}(1-\hat{p})/n = 0,36 \times 0,64 / 400 = 0,2304 / 400 = 0,000576$ .
Erro padrão: $\sqrt{0,000576} = 0,024$ .
Erro máximo (margem de erro): $1,96 \times 0,024 = 0,04704 \approx 0,047$ .
Limite inferior: $0,36 - 0,047 = 0,313$ .
Limite superior: $0,36 + 0,047 = 0,407$ .

Portanto, o intervalo aproximado é $(0,313; 0,407)$ , que corresponde à alternativa E $(0,31; 0,41)$ .

1Proporção amostral (p̂ = 0,36)
2Erro padrão (√(p̂(1-p̂)/n) = 0,024)
3Margem (z × EP = 0,047)
4Intervalo (0,36 ± 0,047)

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Alternativa A — ❌ Incorreta

O intervalo $(0,15; 0,57)$ tem centro em $0,36$ , mas amplitude enorme (0,42). Isso corresponderia a um erro máximo de 0,21, que seria obtido com um valor crítico irreal (maior que 8) ou com um erro padrão muito maior. Não há como chegar a esse intervalo com os dados fornecidos.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O intervalo $(0,18; 0,54)$ também tem centro em $0,36$ , mas amplitude de 0,36 (erro máximo 0,18). Esse erro máximo seria obtido com um valor crítico de $0,18/0,024 = 7,5$ , que não corresponde a nenhum nível de confiança usual. É um distrator que mantém o centro correto, mas exagera a margem.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O intervalo $(0,22; 0,50)$ tem centro em $0,36$ e amplitude 0,28 (erro máximo 0,14). O valor crítico implícito seria $0,14/0,024 \approx 5,83$ , também irreal. A banca provavelmente usou um valor crítico incorreto (talvez confundindo com outro nível de confiança) ou um erro padrão superestimado.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O intervalo $(0,28; 0,44)$ tem centro em $0,36$ e amplitude 0,16 (erro máximo 0,08). O valor crítico implícito seria $0,08/0,024 \approx 3,33$ , que não corresponde a 95% de confiança (seria aproximadamente 99,9%). É um distrator que subestima a margem de erro.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, o intervalo é $0,36 \pm 0,047$ , resultando em $(0,313; 0,407)$ . A alternativa E $(0,31; 0,41)$ é a que mais se aproxima, considerando o arredondamento. O centro é $0,36$ e a amplitude é $0,10$ , coerente com o erro máximo de aproximadamente $0,05$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o erro padrão e o desvio padrão da proporção. Muitos candidatos usam $\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})}$ sem dividir por $n$ , obtendo $\sqrt{0,36 \times 0,64} = 0,48$ , e então calculam $1,96 \times 0,48 = 0,94$ , chegando a um intervalo absurdo como $(0,15; 0,57)$ (alternativa A). Lembre-se: o erro padrão é $\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$ , sempre com a divisão por $n$ .

PEGA ESSA DICA!

Em questões de intervalo de confiança para proporção, o centro do intervalo é sempre $\hat{p}$ . Então, calcule $\hat{p}$ primeiro e elimine as alternativas cujo ponto médio não seja $\hat{p}$ . Aqui, todas têm centro $0,36$ , então a discriminação vem da amplitude. Calcule a margem de erro com $z \times \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$ e compare com as amplitudes. Com $n=400$ , o erro padrão é pequeno (0,024), então a margem para 95% é cerca de 0,05 — só a letra E tem amplitude compatível (0,10).

Gabarito: letra E