Questão de Estatística — Inferência estatística — FGV 2026

Tamanho da amostra para estimação da média

Gabarito: letra D. Para garantir, com 90% de confiança, que a média amostral não se afaste da média populacional por mais de 0,4 unidade, com variância populacional conhecida (σ² = 100), o tamanho mínimo da amostra é dado por $n = \left(\frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}\right)^2$. Com $z_{0,05} = 1,645$, σ = 10 e E = 0,4, obtemos $n = \left(\frac{1,645 \times 10}{0,4}\right)^2 = 41,125^2 \approx 1691,3$, arredondando para cima: 1.692 — o que corresponde à alternativa D (1.681) se considerarmos $z_{0,05} = 1,64$ (aproximação comum em provas).

O problema é um clássico de determinação do tamanho amostral para estimar a média populacional com um erro máximo admissível (E) e um nível de confiança (1 − α). A base teórica é a distribuição amostral da média: pelo Teorema Central do Limite, para amostras grandes, a média amostral $\bar{X}$ segue aproximadamente uma distribuição normal com média μ e desvio padrão $\sigma/\sqrt{n}$. O erro máximo que se admite é a margem de erro do intervalo de confiança, dada por $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Isolando n, chegamos à fórmula $n = \left(\frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}\right)^2$.

A pegadinha central está em dois pontos: (1) usar o quantil correto da normal — para 90% de confiança, o nível de significância é α = 0,10, e o quantil bilateral é $z_{0,05} = 1,645$ (não $z_{0,10} = 1,28$, que seria para 80% de confiança); (2) arredondar sempre para cima, pois o tamanho da amostra deve ser suficiente para atender à precisão exigida — arredondar para baixo violaria a garantia de confiança. A banca explora exatamente essa confusão entre os quantis e o arredondamento.

Vamos ao cálculo passo a passo:

1. Dados do enunciado: variância populacional σ² = 100 → desvio padrão σ = 10; erro máximo E = 0,4; confiança = 90% → α = 0,10 → $z_{\alpha/2} = z_{0,05}$.

2. Quantil da normal padrão: para 90% de confiança, o valor crítico é $z_{0,05} \approx 1,645$ (ou 1,64, dependendo da tabela usada pela banca).

3. Aplicação da fórmula:

1. Arredondamento: como n deve ser inteiro e suficiente, arredondamos para cima: n = 1.692.

A alternativa D (1.681) corresponde ao cálculo com $z_{0,05} = 1,64$: $\left(\frac{1,64 \times 10}{0,4}\right)^2 = 41^2 = 1681$. A diferença entre 1.681 e 1.692 é apenas a aproximação do quantil — a banca adotou 1,64, um valor comum em tabelas simplificadas. O importante é reconhecer o método e o arredondamento para cima.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 936 resultaria de usar $z_{0,10} = 1,28$ (quantil para 80% de confiança) em vez de $z_{0,05} = 1,645$: $\left(\frac{1,28 \times 10}{0,4}\right)^2 = 32^2 = 1024$ — ainda assim não bate. Na verdade, 936 não corresponde a nenhuma combinação direta dos dados; é um distrator que subestima o tamanho necessário, provavelmente fruto de erro no quantil ou no arredondamento.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 1.088 não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados fornecidos. Se o aluno usasse $z_{0,05} = 1,645$ mas errasse o arredondamento (para baixo) ou confundisse o erro (E = 0,5 em vez de 0,4), chegaria a valores próximos, mas não exatos. É um distrator que não reflete o método correto.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 1.246 também não corresponde a nenhuma combinação direta. Poderia surgir de um erro no quantil (usar $z_{0,10} = 1,28$ com E = 0,36, por exemplo), mas não há uma justificativa clara. É um distrator numérico sem correspondência com o método.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O valor 1.681 é exatamente $\left(\frac{1,64 \times 10}{0,4}\right)^2 = 41^2 = 1681$, usando a aproximação $z_{0,05} = 1,64$ para 90% de confiança. O arredondamento para cima (de 1.681, já inteiro) mantém o valor. É a alternativa que reflete o método correto com a aproximação adotada pela banca.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 4.560 é muito maior que o necessário. Poderia resultar de usar um quantil errado (como $z_{0,025} = 1,96$ para 95% de confiança) com um erro menor, ou de um erro de cálculo grosseiro. Com $z_{0,025} = 1,96$ e E = 0,4, teríamos $\left(\frac{1,96 \times 10}{0,4}\right)^2 = 49^2 = 2401$ — ainda assim não é 4.560. É um distrator que superestima o tamanho, provavelmente para testar se o aluno domina o quantil correto.

Gabarito: letra D.