Questão de Estatística — Inferência estatística — FGV 2026

Estimadores não tendenciosos da média populacional

Gabarito: letra D. São não tendenciosos para μ os estimadores T1, T3 e T4, pois a esperança de cada um deles é igual a μ; T2 não é não tendencioso, pois sua esperança é μ/2. A condição para um estimador ser não tendencioso é que sua esperança seja igual ao parâmetro que se deseja estimar — no caso, E(T) = μ.

Um estimador é dito não tendencioso (ou não viesado, não viciado, imparcial) quando sua esperança matemática coincide com o parâmetro populacional que ele pretende estimar. Formalmente, para estimar a média populacional μ, um estimador T é não tendencioso se E(T) = μ. O viés é definido como a diferença E(T) − μ; quando essa diferença é zero, o estimador é não tendencioso.

A média amostral é o exemplo clássico de estimador não tendencioso de μ, mas não é o único: qualquer combinação linear dos elementos da amostra cujos coeficientes somem 1 também é não tendenciosa. Isso porque, se T = a₁X₁ + a₂X₂ + a₃X₃ + a₄X₄, então E(T) = a₁E(X₁) + a₂E(X₂) + a₃E(X₃) + a₄E(X₄) = (a₁ + a₂ + a₃ + a₄)μ. Para que E(T) = μ, basta que a soma dos coeficientes seja 1. Essa é a chave para resolver a questão rapidamente.

A banca explora exatamente essa propriedade: em vez de calcular a esperança de cada estimador, o candidato pode verificar se a soma dos pesos é 1. O estimador T2 tem coeficientes que somam 0, o que o torna viesado — e é justamente a pegadinha da questão.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que apenas X₁ e X₂ são não tendenciosos. Isso está errado porque X₁ e X₂ nem sequer são estimadores listados no enunciado — os estimadores são T1, T2, T3 e T4. Além disso, T3 e T4 também são não tendenciosos, como se verá. A alternativa confunde a notação dos estimadores com a das variáveis.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que apenas X₃ e X₄ são não tendenciosos. Mesmo erro da alternativa A: X₃ e X₄ são variáveis da amostra, não estimadores. E, ainda que se interpretasse como T3 e T4, ficaria de fora T1, que também é não tendencioso. A alternativa é duplamente incorreta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que apenas X₁, X₂ e X₃ são não tendenciosos. Novamente, a notação está trocada (são variáveis, não estimadores). Se interpretarmos como T1, T2 e T3, o erro é incluir T2, que é viesado, e excluir T4, que é não tendencioso. A alternativa erra tanto na identificação dos estimadores quanto na classificação.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Corresponde aos estimadores T1, T3 e T4, que são de fato não tendenciosos. Vejamos cada um:

• T1 = (X₁ + X₂ + X₃ + X₄)/4: a soma dos coeficientes é 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1, logo E(T1) = μ.

• T3 = (X₁ + 2X₂ + 3X₃ + 4X₄)/10: a soma dos coeficientes é 1/10 + 2/10 + 3/10 + 4/10 = 10/10 = 1, logo E(T3) = μ.

• T4 = X₁: é um caso extremo de combinação linear com coeficiente 1, logo E(T4) = E(X₁) = μ.

Portanto, a alternativa D está correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que todos os quatro estimadores são não tendenciosos. Isso é falso porque T2 = (2X₁ − 3X₂ + 3X₃ − 2X₄)/4 tem coeficientes que somam 2 − 3 + 3 − 2 = 0. Assim, E(T2) = 0·μ = 0, e não μ. Logo, T2 é viesado (na verdade, sua esperança é zero, não μ). A alternativa inclui T2 indevidamente.

Gabarito: letra D — são não tendenciosos T1, T3 e T4.