Estatística · FGV · 2026 | Questão sqc-fg127057

Cálculo de E[XY] para densidade conjunta f(x,y) = x + y

Gabarito: letra B. Para variáveis aleatórias contínuas com densidade conjunta $f(x,y)$ , o valor esperado do produto é dado pela integral dupla $E[XY] = \int\int xy \, f(x,y) \, dx \, dy$ . Substituindo $f(x,y) = x+y$ no quadrado unitário, obtemos $E[XY] = \int_0^1 \int_0^1 xy(x+y) \, dx \, dy = \frac{1}{3}$ .

A questão exige o domínio do conceito de valor esperado de uma função de duas variáveis aleatórias contínuas. A definição geral é:

E[g(X,Y)] = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} g(x,y) \, f(x,y) \, dx \, dy

No caso, $g(x,y) = xy$ e a densidade conjunta é $f(x,y) = x+y$ apenas no quadrado $0 < x < 1$ , $0 < y < 1$ ; fora dele, a densidade é zero, então a integral se restringe a esse quadrado. A resolução envolve integrar primeiro em relação a uma variável (tratando a outra como constante) e depois em relação à outra. A ordem de integração não altera o resultado, mas é preciso cuidado com a álgebra das integrais.

A pegadinha mais comum é o candidato esquecer de multiplicar pela função $g(x,y) = xy$ e integrar apenas a densidade (o que daria 1, pois é uma densidade válida), ou errar a conta das frações. Vamos ao cálculo passo a passo.

Distribuição conjunta — só X: —; só Y: —; X∩Y: 1/3

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $1/2$ não corresponde ao resultado da integral. Esse número poderia surgir se o candidato calculasse $E[X] \cdot E[Y]$ incorretamente, assumindo independência sem verificar, ou se errasse a integração. Como $f(x,y) = x+y$ não é fatorável em $g(x)h(y)$ (a soma não é produto), as variáveis não são independentes, e $E[XY] \neq E[X]E[Y]$ em geral. O valor correto é $1/3$ .

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Calculando a integral dupla:

E[XY] = \int_0^1 \int_0^1 xy(x+y) \, dx \, dy = \int_0^1 \int_0^1 (x^2 y + x y^2) \, dx \, dy

Integrando primeiro em $x$ (com $y$ constante):

\int_0^1 (x^2 y + x y^2) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} y + \frac{x^2}{2} y^2 \right]_0^1 = \frac{y}{3} + \frac{y^2}{2}

Agora integrando em $y$ :

\int_0^1 \left( \frac{y}{3} + \frac{y^2}{2} \right) dy = \left[ \frac{y^2}{6} + \frac{y^3}{6} \right]_0^1 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

Portanto, $E[XY] = 1/3$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $1/5$ não tem relação com o cálculo. Poderia ser um distrator para quem erra a integração de $x^2 y$ (esquecendo o fator 1/3) ou confunde com alguma outra distribuição. O resultado correto é $1/3$ .

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $2/3$ é o dobro do correto. Esse erro pode ocorrer se o candidato calcular $E[X] = 7/12$ e $E[Y] = 7/12$ e multiplicar, obtendo $49/144 \approx 0,34$ , ou se errar a soma das frações na integração final (por exemplo, somando $1/6 + 1/6$ como $2/3$ em vez de $1/3$ ). O valor correto é $1/3$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $3/5$ também não corresponde ao resultado. Poderia surgir de um erro na integração, como tratar $\int_0^1 x^2 dx = 1/3$ como $1/2$ ou $\int_0^1 y^2 dy = 1/3$ como $1/2$ , levando a $1/2 + 1/2 = 1$ ou outras combinações. O valor correto é $1/3$ .

PEGA ESSA DICA!

Para questões de valor esperado com densidade conjunta, sempre monte a integral $\int\int g(x,y) f(x,y) dx dy$ e resolva passo a passo, integrando uma variável de cada vez. Confira se a densidade é fatorável (independência) antes de tentar $E[X]E[Y]$ — aqui não é, então a integral dupla é obrigatória. Treine com densidades do tipo $x+y$ , $xy$ , $x^2 y$ para fixar o método.

Gabarito: letra B — $E[XY] = 1/3$ .