GabaritoB — 87%.
Gabarito: letra B (87%). A probabilidade de a média amostral não se afastar de μ por mais de 0,5 é calculada padronizando a média amostral pela distribuição normal: com variância populacional conhecida (σ² = 25), a média amostral tem desvio padrão σ/√n = 5/15 = 1/3, e o valor padronizado é z = 0,5/(1/3) = 1,5. A probabilidade P(|Z| ≤ 1,5) ≈ 0,8664, ou seja, aproximadamente 87%.
A questão explora a distribuição amostral da média e o Teorema Central do Limite (TCL). Quando extraímos uma amostra aleatória simples de tamanho n de uma população com média μ e variância σ², a média amostral X̄ é uma variável aleatória com:
Esperança: E(X̄) = μ (estimador não viesado da média populacional);
Variância: Var(X̄) = σ²/n (quanto maior a amostra, menor a variabilidade da média amostral);
Distribuição: aproximadamente normal para n suficientemente grande (pelo TCL), mesmo que a população original não seja normal. Na prática, para n ≥ 30, a aproximação é excelente.
A pegadinha clássica da banca é trocar a variância pelo desvio padrão na fórmula do erro padrão. Aqui, a variância é 25, então o desvio padrão populacional é σ = 5. O erro padrão da média é σ/√n = 5/√225 = 5/15 = 1/3. Se o candidato usasse σ = 25 diretamente, obteria um valor absurdo e erraria a questão.
O porquê da regra: a média amostral é uma combinação linear das observações, e a variância de uma soma de variáveis independentes é a soma das variâncias. Como cada Xi tem variância σ², a variância da soma é n·σ², e ao dividir por n para obter a média, a variância fica σ²/n. O desvio padrão (erro padrão) é σ/√n.
80% corresponderia a z ≈ 1,28, ou seja, um afastamento de 1,28 × (1/3) ≈ 0,427, menor que 0,5. A banca oferece esse valor para quem arredonda z para 1,28 (percentil 90%) em vez de usar z = 1,5.
Com z = 1,5, a probabilidade P(|Z| ≤ 1,5) = 2·Φ(1,5) − 1 = 2·0,9332 − 1 = 0,8664 ≈ 87%. Esse é exatamente o valor que a alternativa apresenta.
90% corresponderia a z ≈ 1,645. O candidato que confunde o nível de confiança de 90% (z = 1,645) com o valor calculado (z = 1,5) cai nessa alternativa.
95% corresponderia a z ≈ 1,96. É um distrator comum para quem memoriza os valores críticos mais usados (1,96 para 95%) sem fazer o cálculo.
99% corresponderia a z ≈ 2,576. É o valor crítico para 99% de confiança, outro distrator de memorização.
A banca troca a variância (25) pelo desvio padrão (5) na fórmula do erro padrão. Se você usar σ = 25, o erro padrão seria 25/15 ≈ 1,67, e o z seria 0,5/1,67 ≈ 0,3, dando uma probabilidade em torno de 23% — nenhuma alternativa. O candidato que não percebe a pegadinha fica perdido. Fique atento: o enunciado sempre informa se o valor dado é variância ou desvio padrão.
Para questões de distribuição amostral da média, siga o passo a passo: (1) identifique se a variância populacional é conhecida (use Z) ou desconhecida (use t de Student); (2) calcule o erro padrão σ/√n; (3) padronize o valor pedido: z = (X̄ − μ)/(σ/√n); (4) consulte a tabela normal. Memorize os valores mais comuns: z = 1,28 (80%), 1,5 (87%), 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%).
Gabarito: letra B.
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