Estatística · FGV · 2026 | Questão sqc-fg127059

Valor esperado de uma variável aleatória contínua

Gabarito: letra A. O valor esperado de X é 1. Para uma variável aleatória contínua, a esperança é calculada pela integral $E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx$ . Como a densidade é $f(x) = |1-x|$ para $0 < x < 2$ , precisamos integrar $x|1-x|$ nesse intervalo, dividindo em duas partes por causa do módulo. O resultado é exatamente 1.

A função densidade dada é uma função triangular, que atinge o valor máximo em $x=1$ e decresce linearmente até zero em $x=0$ e $x=2$ . O valor esperado é o centro de massa dessa distribuição, e pela simetria da função (que é simétrica em torno de $x=1$ ), a média é 1. Vamos confirmar com o cálculo integral.

Para $0 < x < 1$ , temos $|1-x| = 1-x$ . Para $1 \le x < 2$ , temos $|1-x| = x-1$ . Assim:

E[X] = \int_0^1 x(1-x)\,dx + \int_1^2 x(x-1)\,dx

Calculando a primeira integral:

\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

Calculando a segunda integral:

\int_1^2 (x^2 - x)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}\right]_1^2 = \left(\frac{8}{3} - 2\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

Somando: $E[X] = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = 1$ .

A pegadinha aqui é que muitos candidatos tentam usar a fórmula da média de uma distribuição uniforme, que seria $(a+b)/2 = 1$ , mas isso só vale para densidade constante. Nesta questão, a densidade não é constante, mas a simetria da função em torno de $x=1$ garante que a média é 1. Outra pegadinha é esquecer de dividir a integral por causa do módulo, o que levaria a um cálculo incorreto.

1Dividir pelo módulo
2Integrar x(1-x) em [0,1]
3Integrar x(x-1) em [1,2]
4Somar: 1/6 + 5/6 = 1

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Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $E[X] = 1$ . A integral da densidade vezes $x$ resulta em 1, confirmando que a alternativa A é a correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $3/2$ seria a média de uma distribuição uniforme no intervalo $(1,2)$ , mas aqui o suporte é $(0,2)$ e a densidade não é uniforme. O cálculo correto dá 1, não 1,5.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $4/3$ é um distrator comum. Ele poderia surgir de um erro de cálculo, como integrar $x(1-x)$ de 0 a 2 sem considerar o módulo corretamente, ou de uma confusão com a média de uma distribuição triangular que não é simétrica. O valor correto é 1.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $5/4$ também é um distrator. Não corresponde a nenhuma média de distribuição conhecida para este caso. O cálculo correto é 1.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 2 seria a média se a densidade fosse concentrada no extremo superior, mas a densidade é simétrica em torno de 1, então a média é 1, não 2.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre a média de uma distribuição uniforme e a média de uma distribuição triangular simétrica. Muitos candidatos veem o intervalo $(0,2)$ e calculam $(0+2)/2 = 1$ , o que por acaso dá o resultado certo, mas por um motivo errado. Outros tentam integrar sem dividir o módulo e erram. A dica é: sempre que houver módulo na densidade, divida a integral nos pontos onde a expressão muda de sinal.

PEGA ESSA DICA!

Para calcular a esperança de uma variável contínua, use sempre $E[X] = \int x f(x)\,dx$ . Se a densidade tiver módulo, divida o intervalo de integração nos pontos críticos. Nesta questão, a simetria da função densidade em torno de $x=1$ já indica que a média é 1, mas é importante saber fazer o cálculo completo.

Gabarito: letra A.