Estatística · FGV · 2026 | Questão sqc-fg127060

Função geratriz de momentos e a média da distribuição exponencial

Gabarito: letra B. A função geratriz de momentos $M_X(t) = \frac{\lambda}{\lambda - t}$ é a função geratriz de momentos da distribuição exponencial com parâmetro $\lambda$ . Para essa distribuição, a média (esperança) é o inverso do parâmetro, ou seja, $E[X] = \frac{1}{\lambda}$ . A alternativa B é a única que apresenta esse valor.

A função geratriz de momentos (fgm) de uma variável aleatória $X$ é definida como $M_X(t) = E[e^{tX}]$ . Uma propriedade fundamental é que as derivadas da fgm, avaliadas em $t=0$ , geram os momentos da distribuição. Especificamente, a primeira derivada avaliada em zero é a média: $E[X] = M_X'(0)$ .

A fgm dada, $M_X(t) = \frac{\lambda}{\lambda - t}$ , é a fgm característica da distribuição exponencial com parâmetro de taxa $\lambda$ . A distribuição exponencial modela o tempo até a ocorrência de um evento, e sua função densidade de probabilidade é $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ para $x \geq 0$ .

Para encontrar a média, podemos derivar a fgm e avaliar em $t=0$ :

$M_X(t) = \lambda (\lambda - t)^{-1}$
$M_X'(t) = \lambda \cdot (-1) \cdot (\lambda - t)^{-2} \cdot (-1) = \frac{\lambda}{(\lambda - t)^2}$
$E[X] = M_X'(0) = \frac{\lambda}{(\lambda - 0)^2} = \frac{\lambda}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda}$

Portanto, a média de $X$ é $\frac{1}{\lambda}$ . A banca explora a confusão entre o parâmetro $\lambda$ e a média, que é seu inverso.

1Reconhecer fgm exponencial
2Derivar M(t)
3Avaliar em t=0
4Obter E[X] = 1/λ

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Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $\lambda$ como a média. Esse é o valor do parâmetro da distribuição exponencial, não a sua média. A média é o inverso do parâmetro.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta $\frac{1}{\lambda}$ , que é exatamente a média da distribuição exponencial. Isso pode ser verificado derivando a função geratriz de momentos e avaliando em $t=0$ , ou simplesmente lembrando que para a exponencial, $E[X] = \frac{1}{\lambda}$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{2}{\lambda}$ . Este valor não corresponde à média da exponencial. Poderia ser uma confusão com a soma de duas exponenciais independentes, que resultaria em uma distribuição Gama com média $\frac{2}{\lambda}$ , mas para uma única variável $X$ , a média é $\frac{1}{\lambda}$ .

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{\lambda}{2}$ . Este valor não tem relação direta com a média da exponencial. É um distrator que mistura o parâmetro com uma fração arbitrária.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $\lambda^2$ . Este valor não corresponde à média. Poderia ser uma confusão com a variância da exponencial, que é $\frac{1}{\lambda^2}$ , mas a questão pede a média, não a variância.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta confundir o candidato ao colocar o parâmetro $\lambda$ (letra A) como se fosse a média. Lembre-se: na distribuição exponencial, a média é o inverso do parâmetro. Se a fgm é $\frac{\lambda}{\lambda - t}$ , a média é $\frac{1}{\lambda}$ . Essa inversão é uma armadilha clássica.

PEGA ESSA DICA!

Para questões com função geratriz de momentos, lembre-se da propriedade $E[X] = M_X'(0)$ . Se você reconhecer a fgm como sendo de uma distribuição conhecida (exponencial, normal, Poisson), pode usar diretamente a média conhecida da distribuição. Caso contrário, derive a fgm e avalie em $t=0$ .

Gabarito: letra B