Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — FGV 2026

Desigualdade de Markov

Gabarito: letra B. A questão cobra a Desigualdade de Markov, que estabelece que, para uma variável aleatória $X$ e uma função não negativa $g(\cdot)$, a probabilidade de $g(X)$ ser maior ou igual a um valor $k > 0$ é limitada superiormente por $\frac{E[g(X)]}{k}$. Em notação: $P[g(X) \geq k] \leq \frac{E[g(X)]}{k}$. É exatamente o que a alternativa B afirma.

A Desigualdade de Markov é um dos resultados fundamentais da teoria da probabilidade. Ela fornece um limite superior para a probabilidade de uma variável aleatória não negativa (ou de uma função não negativa dela) assumir valores grandes, com base apenas no valor esperado. A intuição é simples: se a média de uma variável não negativa é pequena, a probabilidade de ela ser muito grande não pode ser alta — senão a média seria puxada para cima.

Formalmente, para $Y = g(X) \geq 0$ e $k > 0$, a desigualdade afirma que $P(Y \geq k) \leq \frac{E[Y]}{k}$. A demonstração clássica usa a identidade $E[Y] = \int_0^\infty P(Y > t)\,dt$ (válida para variáveis não negativas) e o fato de que $P(Y \geq k) \leq \frac{1}{k} \int_0^k P(Y > t)\,dt + \int_k^\infty P(Y > t)\,dt$, mas a forma mais direta é: $E[Y] \geq k \cdot P(Y \geq k)$, pois no evento $\{Y \geq k\}$ temos $Y \geq k$, e fora dele $Y \geq 0$. Dividindo por $k$, obtemos a desigualdade.

A pegadinha da banca está em inverter o sentido da desigualdade ou trocar o denominador. As alternativas C, D e E apresentam variações com o sinal invertido ou com $k^2$ no denominador, que não correspondem ao resultado correto. A alternativa A troca a divisão por $k$ por uma multiplicação por $k$, o que também está errado.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $P[g(X) \geq k] \leq kE[g(X)]$. Isso está errado: a desigualdade correta divide por $k$, não multiplica. Multiplicar por $k$ daria um limite superior muito frouxo (e, para $k > 1$, até trivialmente verdadeiro, mas não é o que a desigualdade de Markov estabelece). O erro é a inversão da operação: em vez de $\frac{E[g(X)]}{k}$, usa $kE[g(X)]$.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a formulação exata da Desigualdade de Markov: $P[g(X) \geq k] \leq \frac{E[g(X)]}{k}$. Como $g(X)$ é não negativa, a desigualdade se aplica diretamente. O limite é tanto mais informativo quanto maior for $k$: para $k$ grande, a probabilidade de $g(X)$ exceder $k$ é pequena.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que $P[g(X) \geq k] \geq \frac{E[g(X)]}{k}$. O erro está no sentido da desigualdade: a Desigualdade de Markov fornece um limite superior, não inferior. A probabilidade é menor ou igual a $\frac{E[g(X)]}{k}$, nunca maior ou igual (exceto em casos degenerados triviais).

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que $P[g(X) \geq k] \geq kE[g(X)]$. Aqui há dois erros: o sentido da desigualdade (deveria ser $\leq$) e a operação (deveria ser divisão por $k$, não multiplicação por $k$). Essa alternativa combina os dois erros das alternativas A e C.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que $P[g(X) \geq k] \geq \frac{E[g(X)]}{k^2}$. O erro está no denominador: a desigualdade correta tem $k$ no denominador, não $k^2$. Além disso, o sentido da desigualdade também está invertido (deveria ser $\leq$). Essa alternativa mistura o erro de sinal com um denominador incorreto.

Gabarito: letra B.