Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — FGV 2026

Valor esperado de função de variável aleatória contínua

Gabarito: letra C. O valor esperado pedido é $E[3X^2 + 1] = 3E[X^2] + 1$. Para calcular $E[X^2]$, precisamos primeiro determinar a constante $k$ que normaliza a função de densidade, impondo que a integral de $f(x)$ sobre todo o domínio seja igual a 1. Com $f(x) = kx^3$ para $0 \le x \le 1$, temos $\int_0^1 kx^3\,dx = 1$, o que dá $k = 4$. Então $E[X^2] = \int_0^1 x^2 \cdot 4x^3\,dx = 4\int_0^1 x^5\,dx = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Portanto, $E[3X^2 + 1] = 3 \cdot \frac{2}{3} + 1 = 3$.

Vamos por partes, porque essa questão mistura dois conceitos que costumam derrubar candidato: a normalização da densidade (achar $k$) e a esperança de uma função de $X$ (aplicar a linearidade).

Primeiro, o que é uma função densidade de probabilidade (fdp)? Para uma variável contínua, a fdp $f(x)$ não dá probabilidades pontuais — a probabilidade de $X$ cair num intervalo é a área sob a curva. Por isso, a área total sob a fdp precisa ser exatamente 1. Essa é a condição de normalização: $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1$. Como $f(x) = 0$ fora de $[0,1]$, a integral se reduz a $\int_0^1 kx^3\,dx$.

Depois, o valor esperado de uma função $g(X)$ de uma variável contínua é $E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x)\,dx$. No caso, $g(X) = 3X^2 + 1$. Pela linearidade da esperança, $E[3X^2 + 1] = 3E[X^2] + 1$ — isso vale sempre, para qualquer variável (discreta ou contínua), e é o atalho que evita integrar $3x^2 + 1$ diretamente.

A pegadinha clássica aqui é o candidato calcular $E[X]$ (a média) em vez de $E[X^2]$, ou esquecer de normalizar a densidade antes de calcular a esperança. Vamos fazer cada passo com cuidado.

Passo 1: Determinar $k$

A condição de que a área total seja 1:

Então a densidade é $f(x) = 4x^3$ para $0 \le x \le 1$.

Passo 2: Calcular $E[X^2]$

Passo 3: Aplicar a linearidade

Portanto, o valor esperado é 3.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 1 seria obtido se alguém errasse a normalização (por exemplo, usando $k = 1$ e calculando $E[X^2] = \int_0^1 x^5\,dx = 1/6$, o que daria $3 \cdot 1/6 + 1 = 1{,}5$, não 1) ou se confundisse $E[X^2]$ com $(E[X])^2$. Na verdade, $E[X] = \int_0^1 x \cdot 4x^3\,dx = 4/5 = 0{,}8$, e $(E[X])^2 = 0{,}64$, que também não é 1. O valor 1 não corresponde a nenhum cálculo correto aqui.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 2 seria o resultado de $3E[X^2] + 1$ se $E[X^2] = 1/3$, o que não é o caso. Talvez o candidato calcule $E[X^2]$ como $\int_0^1 x^2 \cdot 4x^3\,dx$ errando a integração (por exemplo, esquecendo o fator 4, obtendo $1/6$, e depois $3 \cdot 1/6 + 1 = 1{,}5$). Ou ainda, se calcular $E[X] = 4/5$ e fizer $3 \cdot 4/5 + 1 = 3{,}4$, não dá 2. Nenhum caminho correto leva a 2.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado: $k = 4$, $E[X^2] = 2/3$, e $E[3X^2 + 1] = 3 \cdot 2/3 + 1 = 3$. A alternativa reproduz exatamente o valor correto.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 4 seria obtido se o candidato calculasse $E[X^2]$ como $\int_0^1 x^2 \cdot 4x^3\,dx = 4/6 = 2/3$ e depois fizesse $3 \cdot 2/3 + 1 = 3$ — não dá 4. Talvez erre ao calcular $E[X^2]$ como $\int_0^1 x^2 \cdot 4x^3\,dx = 4/5$ (trocando o expoente), o que daria $3 \cdot 4/5 + 1 = 3{,}4$. Ou ainda, se calcular $E[X] = 4/5$ e fizer $3 \cdot 4/5 + 1 = 3{,}4$. Nenhum caminho correto leva a 4.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 5 seria obtido se o candidato calculasse $E[X^2]$ como $\int_0^1 x^2 \cdot 4x^3\,dx = 4/3$ (errando a integração, por exemplo, $\int x^5 = x^6/6$ mas avaliando errado), o que daria $3 \cdot 4/3 + 1 = 5$. Mas o cálculo correto é $4/6 = 2/3$, não $4/3$. Portanto, 5 é um distrator que surge de um erro de integração.

Gabarito: letra C.