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Questão de Matemática — Geometria Espacial — FGV 2026

MatemáticaGeometria Espacial
Código
fg127077
Banca
FGV
Órgão
AL-RO
Ano
2026
Nível
Superior
Cargo
Analista Legislativo (Matemática)
Um joalheiro deseja lapidar uma pedra preciosa no formato de um poliedro convexo. O projeto define que a pedra deverá ter exatamente 14 faces, sendo 8 delas triangulares e 6 pentagonais.Para montar a estrutura de metal que prenderá essa pedra, o joalheiro precisa saber o número exato de vértices que o poliedro terá.Essa quantidade é igual a
  1. A8.
  2. B14.
  3. C15.
  4. D40.
  5. E42.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 15.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 15 vértices (alternativa C).

A ideia por trás

Um poliedro convexo é um sólido geométrico com faces planas, arestas e vértices, como um cubo ou uma pirâmide. A Relação de Euler, V + F = A + 2, conecta essas três quantidades e vale para todo poliedro convexo. Nesta questão, conhecemos as faces e seus formatos, mas não as arestas; precisamos calculá-las a partir das faces, lembrando que cada aresta é compartilhada por duas faces.

O que a questão dá

  • número de faces triangulares = 8

  • número de faces pentagonais = 6

  • número total de faces = 14

O que queremos: o número de vértices do poliedro

Passo 1 — Calcular a soma dos lados das faces

Para usar a Relação de Euler, precisamos do número de arestas. Como cada face tem um número de lados, somar os lados de todas as faces nos dá uma pista: cada aresta será contada duas vezes, pois pertence a duas faces. Então, primeiro somamos os lados.

Por que esta fórmula: Cada face triangular contribui com 3 lados, e cada pentagonal com 5. Multiplicamos pela quantidade de cada tipo e somamos.

S=8×3+6×5S = 8 \times 3 + 6 \times 5

De onde vem cada valor: 88 = enunciado: 8 faces triangulares · 33 = triângulo tem 3 lados · 66 = enunciado: 6 faces pentagonais · 55 = pentágono tem 5 lados

S=8×3+6×5=24+30=54 ladosS = 8 \times 3 + 6 \times 5 = 24 + 30 = \boxed{54\ \text{lados}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar ou somar errado, como fazer 8+3+6+5 = 22.

Passo 2 — Descobrir o número de arestas

A soma dos lados conta cada aresta duas vezes, porque cada aresta é compartilhada por duas faces. Para obter o número real de arestas, dividimos essa soma por 2.

Por que esta fórmula: A = S / 2, pois cada aresta foi contada duas vezes na soma dos lados.

A=S2A = \frac{S}{2}

De onde vem cada valor: SS = passo 1: 54

A=542=27 arestasA = \frac{54}{2} = \boxed{27\ \text{arestas}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 54 como número de arestas, sem dividir por 2 — isso daria um poliedro impossível.

Passo 3 — Aplicar a Relação de Euler

Com o número de faces (14) e de arestas (27), a Relação de Euler V + F = A + 2 permite encontrar o número de vértices, que é o que o problema pede.

Por que esta fórmula: A Relação de Euler é uma propriedade fundamental de todo poliedro convexo: relaciona vértices, faces e arestas. É a única fórmula que liga essas três quantidades.

V+F=A+2V + F = A + 2

De onde vem cada valor: FF = enunciado: 14 faces · AA = passo 2: 27 arestas

V+14=27+2V + 14 = 27 + 2
V=15V = \boxed{15}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a fórmula, usando V + A = F + 2, ou errar a soma 27+2 = 29.

Resposta: 15 vértices (alternativa C)

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