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Questão de Matemática — Progressões — FGV 2026

MatemáticaProgressões
Código
fg127078
Banca
FGV
Órgão
AL-RO
Ano
2026
Nível
Superior
Cargo
Analista Legislativo (Matemática)
Em um laboratório de análises clínicas, um biólogo observa o comportamento de uma bactéria específica que possui uma alta capacidade reprodutiva. O estudo, iniciado às 12:50, determinou que, em condições ideais, a população dessa colônia dobra de tamanho a cada 30 minutos.Se, exatamente às 15:20, havia 800 bactérias na colônia, é correto afirmar que a quantidade de bactérias no início do estudo era um número entre
  1. A20 e 30.
  2. B30 e 40.
  3. C40 e 50.
  4. D50 e 60.
  5. E60 e 70.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 20 e 30.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 25 bactérias, que está entre 20 e 30 — alternativa A..

A ideia por trás

O crescimento de uma população que dobra em intervalos regulares é um exemplo de progressão geométrica (PG). Numa PG, cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão constante q; aqui, q = 2, pois a população dobra a cada 30 minutos. A população após n períodos é dada por P_n = P_0 · 2^n, onde P_0 é a população inicial e n é o número de períodos de 30 minutos decorridos. Como o crescimento é discreto (a cada 30 minutos exatos), o ponto central é contar quantos períodos se passaram entre o início e o instante em que a população era 800. Nesta questão, precisamos calcular o intervalo de tempo, converter para o número de períodos de 30 minutos e então inverter a fórmula para achar P_0, dividindo por 2^n.

O que a questão dá

  • população final = 800 bactérias

  • tempo de dobra = 30 minutos

  • início do estudo = 12:50

  • instante da contagem = 15:20

O que queremos: a quantidade de bactérias no início do estudo (12:50)

Passo 1 — Calcular o tempo decorrido

Precisamos saber quanto tempo se passou entre o início do estudo e a contagem, porque o crescimento ocorre a cada 30 minutos. Sem isso, não sabemos quantas dobras aconteceram.

Por que esta fórmula: O tempo decorrido é a diferença entre os horários: subtraímos o horário inicial do final.

Δt=tfinal−tinicial\Delta t = t_{final} - t_{inicial}

De onde vem cada valor: tfinalt_{final} = enunciado: 15:20 · tinicialt_{inicial} = enunciado: 12:50

Δt=15:20−12:50=2 h 30 min\Delta t = 15{:}20 - 12{:}50 = 2 \text{ h } 30 \text{ min}
2h30min=150 min2 h 30 min = \boxed{150\ \text{min}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de converter horas em minutos, ou subtrair errado os minutos (ex.: 15:20 - 12:50 = 2:30, mas alguns podem pensar que é 2:70).

Passo 2 — Converter o tempo para minutos

O período de dobra é dado em minutos (30 min), então precisamos trabalhar com minutos para facilitar a divisão. Converter horas em minutos é essencial para não errar a conta.

Por que esta fórmula: 1 hora tem 60 minutos, então multiplicamos as horas por 60 e somamos os minutos restantes.

Δtmin=(horas×60)+minutos\Delta t_{min} = (\text{horas} \times 60) + \text{minutos}

De onde vem cada valor: horashoras = passo 1: 2 h · minutosminutos = passo 1: 30 min

Δtmin=(2×60)+30=120+30=150=150 min\Delta t_{min} = (2 \times 60) + 30 = 120 + 30 = 150 = \boxed{150\ \text{min}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar as horas por 60 e usar 2,5 diretamente, o que daria 2,5 períodos em vez de 5.

Passo 3 — Descobrir quantos períodos de 30 minutos

Como a população dobra a cada 30 minutos, precisamos saber quantas vezes ela dobrou. Isso é o número de períodos n.

Por que esta fórmula: Dividimos o tempo total pelo tempo de cada período, porque cada período tem a mesma duração.

n=Δtmin30n = \frac{\Delta t_{min}}{30}

De onde vem cada valor: Δtmin\Delta t_{min} = passo 2: 150 min · 3030 = enunciado: dobra a cada 30 minutos

n=15030=5=5 perıˊodosn = \frac{150}{30} = 5 = \boxed{5\ \text{per}í\text{odos}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 2,5 horas como 2,5 períodos, mas o período é de 30 minutos, então 150/30 = 5, não 2,5.

Passo 4 — Montar a fórmula da progressão geométrica

O crescimento exponencial é modelado por uma PG: cada período multiplica a população por 2. Precisamos da fórmula que relaciona a população final com a inicial e o número de períodos.

Por que esta fórmula: Numa PG, o termo geral é P_n = P_0 · q^n. Aqui, q = 2, pois a população dobra. Essa fórmula é a base para encontrar P_0.

Pn=P0⋅2nP_n = P_0 \cdot 2^n

De onde vem cada valor: PnP_n = enunciado: 800 bactérias (população final) · P0P_0 = incógnita: população inicial · 22 = enunciado: dobra de tamanho · nn = passo 3: 5

800=P0⋅25800 = P_0 \cdot 2^{5}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a fórmula, achando que P_0 = P_n · 2^n, o que daria um número absurdo.

Passo 5 — Calcular a potência de 2

Precisamos saber quanto vale 2^5 para poder isolar P_0. Isso é uma operação simples, mas essencial.

Por que esta fórmula: 2^5 significa multiplicar 2 por ele mesmo 5 vezes.

25=2×2×2×2×22^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2

De onde vem cada valor: 22 = enunciado: dobra · 55 = passo 3: n = 5

25=32=322^{5} = 32 = \boxed{32}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a potência, por exemplo, achar que 2^5 = 10 (multiplicar 2 por 5 em vez de potência).

Passo 6 — Isolar a população inicial

Agora que temos a equação com números, precisamos resolver para P_0. Como P_0 está multiplicado por 32, dividimos ambos os lados por 32.

Por que esta fórmula: Para isolar P_0, fazemos a operação inversa da multiplicação, que é a divisão.

P_0 = frac8002^5

De onde vem cada valor: 800800 = enunciado: população final · 252^{5} = passo 5: 32

P0=80032=25 bacteˊriasP_0 = \frac{800}{32} = \boxed{25\ \text{bact}é\text{rias}}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar 800 por 32 em vez de dividir, obtendo 25.600, o que não faz sentido.

Resposta: 25 bactérias, que está entre 20 e 30 — alternativa A.

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