A derivada é uma ferramenta que mede a taxa de variação instantânea de uma variável em relação à outra. Geometricamente, ela representa a inclinação da reta tangente à curva em um ponto específico.Com base nessas informações, é correto afirmar que a inclinação da reta que tangencia o gráfico de x ² − y ³ = 0 no ponto (1,1) é
A0.
B1/2.
C2/3.
D1.
E3/2.
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GabaritoC — 2/3.
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Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a 2/3 (alternativa C).
A ideia por trás
A derivada mede a taxa de variação instantânea de uma função e, geometricamente, é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico num ponto. Quando a relação entre x e y é dada implicitamente, como x² − y³ = 0, não conseguimos derivar y diretamente em função de x sem antes isolar y — e nem sempre isso é simples. A derivação implícita resolve isso derivando termo a termo, tratando y como função de x e aplicando a regra da cadeia em termos com y. Nesta questão, precisamos derivar a equação implicitamente e substituir o ponto para achar a inclinação.
O que a questão dá
curva: x^2 - y^3 = 0
ponto: (1,1)
O que queremos: a inclinação da reta tangente à curva no ponto (1,1)
Passo 1 — Derivar cada termo da equação
Para achar a inclinação da reta tangente, precisamos da derivada dy/dx. Como a equação mistura x e y, derivamos ambos os lados em relação a x, tratando y como função de x. Isso é a derivação implícita.
Por que esta fórmula: Derivamos termo a termo: a derivada de x² é 2x; a derivada de −y³, pela regra da cadeia, é −3y²·(dy/dx); a derivada de 0 é 0.
De onde vem cada valor: = derivada de x² · = derivada de −y³ pela regra da cadeia · = derivada de 0
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer o fator dy/dx ao derivar y³, tratando y como variável independente.
Passo 2 — Isolar dy/dx na equação
Precisamos da expressão para a derivada, então isolamos dy/dx de um lado da equação. Isso é uma manipulação algébrica simples.
Por que esta fórmula: Da equação 2x − 3y²·(dy/dx) = 0, somamos 3y²·(dy/dx) aos dois lados e depois dividimos por 3y².
(dy)/(dx) = frac2x3y^2
De onde vem cada valor: = passo 1 · = passo 1
(dy)/(dx) = frac2x3y^2
NÃO CAIA NESSA!
Inverter a fração, colocando 3y² no numerador e 2x no denominador.
Passo 3 — Substituir o ponto (1,1)
A inclinação da reta tangente é o valor da derivada no ponto dado. Substituímos x=1 e y=1 na expressão da derivada.
Por que esta fórmula: A derivada dy/dx = 2x/(3y²) depende de x e y; para achar o valor no ponto, substituímos as coordenadas.
(dy)/(dx)bigg|_(1,1) = frac2 · 13 · 1^2
De onde vem cada valor: = passo 2: x=1 · = passo 2: y=1
frac2 · 13 · 1^2 = (2)/(3) = 2\ /3
NÃO CAIA NESSA!
Trocar a ordem, usando 3y² no numerador e 2x no denominador, o que daria 3/2.