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Questão de Matemática — Geometria Espacial — FGV 2026

MatemáticaGeometria Espacial
Código
fg127088
Banca
FGV
Órgão
AL-RO
Ano
2026
Nível
Superior
Cargo
Analista Legislativo (Matemática)
Uma empresa de cosméticos lançou um perfume em um frasco de vidro com o formato de uma pirâmide de base quadrada invertida (com o vértice apontado para baixo e a base quadrada aberta para cima).Para uma campanha de marketing, o gerente pede que sejam preparadas amostras onde o líquido atinja exatamente a metade da altura total desse frasco.Considerando que V represente a capacidade total do frasco, a fração de V ocupada pelo perfume nessas amostras é
  1. A1/2.
  2. B1/4.
  3. C1/8.
  4. D1/12.
  5. E1/15.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 1/8.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a A fração de V ocupada é 1/8, portanto alternativa C..

A ideia por trás

Quando um sólido é reduzido ou ampliado mantendo a mesma forma, todas as suas dimensões lineares (altura, largura, comprimento) são multiplicadas por um mesmo fator k. O volume, porém, não é multiplicado por k, mas por k³, porque o volume depende de três dimensões. Por exemplo, se você dobra o lado de um cubo, o volume vira 8 vezes maior (2³). Essa regra vale para qualquer sólido semelhante: pirâmides, cones, esferas, etc. A razão entre os volumes de dois sólidos semelhantes é o cubo da razão entre suas dimensões lineares. Nesta questão, o líquido forma uma pirâmide menor, semelhante à do frasco, com altura igual à metade. Portanto, a razão linear é 1/2 e o volume será (1/2)³ = 1/8 do volume total.

O que a questão dá

  • frasco em forma de pirâmide de base quadrada invertida

  • líquido atinge a metade da altura total

  • capacidade total do frasco = V

O que queremos: a fração de V ocupada pelo perfume quando o líquido atinge a metade da altura

Passo 1 — Reconhecer a semelhança entre as pirâmides

O líquido dentro do frasco forma uma pirâmide menor, com a mesma base quadrada e o mesmo vértice, mas com altura menor. Como a forma é a mesma, essa pirâmide é semelhante à original. Isso é essencial porque, para sólidos semelhantes, existe uma relação direta entre as dimensões e os volumes.

NÃO CAIA NESSA!

Achar que a pirâmide menor não é semelhante, mas ela é, pois a base é paralela e os lados são proporcionais.

Passo 2 — Determinar a razão de semelhança linear

A razão de semelhança linear é a razão entre as dimensões correspondentes das duas pirâmides. Como o líquido atinge a metade da altura, a altura da pirâmide menor é h/2, enquanto a altura da pirâmide maior é h. Portanto, a razão é (h/2)/h = 1/2.

Por que esta fórmula: A razão de semelhança é definida como a razão entre quaisquer duas medidas lineares correspondentes (altura, lado da base, aresta). Aqui usamos a altura, pois é o dado fornecido.

k=hmenorhmaiork = \frac{h_{menor}}{h_{maior}}

De onde vem cada valor: hmenorh_{menor} = enunciado: metade da altura total, ou seja, h/2 · hmaiorh_{maior} = enunciado: altura total do frasco, h

k=h/2h=12k = \frac{h/2}{h} = \frac{1}{2}
k=1 /2k = \boxed{1\ /2}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a razão das áreas ou dos volumes diretamente, mas a razão linear é a raiz quadrada da razão das áreas e a raiz cúbica da razão dos volumes.

Passo 3 — Calcular a razão entre os volumes

Para sólidos semelhantes, o volume escala com o cubo da razão linear. Isso acontece porque o volume é uma medida tridimensional: cada dimensão (altura, largura, profundidade) é multiplicada por k, então o volume é multiplicado por k × k × k = k³. Agora que temos k = 1/2, podemos calcular a fração do volume.

Por que esta fórmula: A relação entre volumes de sólidos semelhantes é V_menor = k³ · V_maior. Essa é uma propriedade geral da geometria, válida para qualquer sólido.

Vmenor=k3⋅VmaiorV_{menor} = k^{3} \cdot V_{maior}

De onde vem cada valor: kk = passo 2: 1/2 · VmaiorV_{maior} = enunciado: capacidade total V

Vmenor=(12)3⋅V=18⋅VV_{menor} = \left(\frac{1}{2}\right)^{3} \cdot V = \frac{1}{8} \cdot V
Vmenor=V/8V_{menor} = \boxed{\text{V}/8}
NÃO CAIA NESSA!

Elevar ao quadrado em vez de ao cubo, obtendo 1/4, ou simplesmente usar 1/2, esquecendo que o volume depende de três dimensões.

Resposta: A fração de V ocupada é 1/8, portanto alternativa C.

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