Uma empresa de engenharia precisa calibrar os custos com gasto de energia das Máquinas A e B, que variam linearmente conforme o tempo de uso. Porém, o sistema de monitoramento registra apenas o custo total acumulado dos ciclos combinados, sem discriminar o consumo individual de cada máquina.O gerente de operações possui os dados de dois ciclos de teste já realizados:• Ciclo de Teste 1: as máquinas operaram de forma desigual, sendo 70 horas na Máquina Tipo A e 30 horas na Máquina Tipo B. O custo total de energia registrado foi de R$ 4.600,00.• Ciclo de Teste 2: a configuração foi invertida, operando 30 horas na Máquina Tipo A e 70 horas na Máquina Tipo B. O custo total de energia registrado foi de R$ 3.400,00.Para o próximo mês, a meta da diretoria é um "Ciclo Equilibrado", onde ambas as máquinas operarão exatamente a mesma quantidade de tempo: 50 horas cada uma (totalizando as mesmas 100 horas de operação global dos testes anteriores).Com base na lógica de linearidade do custo de energia das máquinas e mantido o valor da energia, o custo exato desse Ciclo Equilibrado será de
AR$ 3.800,00.
BR$ 4.000,00.
CR$ 4.200,00.
DR$ 4.250,00.
ER$ 8.000,00.
Revelar gabarito e comentário▾
GabaritoB — R$ 4.000,00.
Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.
Resolução
Gabarito: letra B — a conta chega a R$ 4.000,00 (alternativa B).
A ideia por trás
O custo de energia é uma grandeza que cresce de forma linear com o tempo de uso: se uma máquina opera o dobro de horas, o custo dela dobra. Isso significa que o custo total é a soma dos custos individuais, cada um sendo o produto do custo por hora pela quantidade de horas. A unidade é o real (R$), e o custo por hora (R$/h) é o fator de proporcionalidade. Como há duas máquinas com custos horários possivelmente diferentes, precisamos descobrir esses dois valores. A relação que governa é o sistema linear: para cada ciclo, o custo total é a soma das horas de cada máquina vezes o seu custo horário. Se o custo por hora de uma máquina aumenta, o custo total aumenta na proporção das horas usadas. Nesta questão, os dois ciclos fornecem duas equações que permitem determinar os custos horários, e então aplicamos esses valores ao ciclo equilibrado.
O que a questão dá
Ciclo 1: 70 h na A, 30 h na B, custo R$ 4.600,00
Ciclo 2: 30 h na A, 70 h na B, custo R$ 3.400,00
Ciclo Equilibrado: 50 h na A, 50 h na B
O que queremos: o custo total do Ciclo Equilibrado
Passo 1 — Montar o sistema de equações
Precisamos descobrir o custo por hora de cada máquina, pois eles são diferentes. Como o custo total é a soma dos custos individuais, cada ciclo de teste vira uma equação com as incógnitas a (custo por hora da A) e b (custo por hora da B).
Por que esta fórmula: A linearidade garante que o custo total é a soma dos produtos das horas pelo custo horário. Então, para o Ciclo 1: 70 horas da A vezes a, mais 30 horas da B vezes b, igual ao custo total. O mesmo para o Ciclo 2.
De onde vem cada valor: = enunciado: Ciclo 2, horas da Máquina B · = enunciado: Ciclo 2, horas da Máquina A · = enunciado: custo total do Ciclo 1 · = enunciado: custo total do Ciclo 2
NÃO CAIA NESSA!
Trocar os coeficientes entre as equações, montando 70a + 30b = 3400 por engano.
Passo 2 — Igualar os coeficientes de a
Para resolver o sistema, usamos o método da adição: precisamos que uma das incógnitas tenha o mesmo coeficiente nas duas equações para poder eliminá-la. Multiplicando a primeira por 3 e a segunda por 7, o coeficiente de a vira 210 nas duas.
Por que esta fórmula: Multiplicar uma equação inteira por um número não muda a igualdade, apenas a escala. Escolhemos 3 e 7 porque 70×3 = 210 e 30×7 = 210, igualando os coeficientes de a.
Multiplicar apenas um lado da equação, esquecendo de multiplicar o termo independente.
Passo 3 — Subtrair as equações para achar b
Com os coeficientes de a iguais, subtrair uma equação da outra elimina a incógnita a, sobrando uma equação só com b. Isso nos dá o custo por hora da Máquina B.
Por que esta fórmula: Subtraindo as equações, os termos com a se cancelam (210a - 210a = 0), e ficamos com 490b - 90b = 400b do lado esquerdo e 23800 - 13800 = 10000 do lado direito.
De onde vem cada valor: = 490 - 90 (passo 2) · = 23800 - 13800 (passo 2)
NÃO CAIA NESSA!
Subtrair na ordem errada, resultando em 400b = -10000 e b negativo.
Passo 4 — Substituir b na primeira equação
Agora que sabemos o custo por hora da Máquina B (R$ 25,00), usamos uma das equações originais para descobrir o custo por hora da Máquina A. Substituímos b = 25 na equação do Ciclo 1.
Por que esta fórmula: A equação do Ciclo 1 é 70a + 30b = 4600. Colocando b = 25, temos 70a + 30×25 = 4600, que vira 70a + 750 = 4600. Isolando a, subtraímos 750 dos dois lados e dividimos por 70.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = passo 1 · = passo 3 · = passo 1
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar 30 por 25 antes de somar, fazendo 70a + 25 = 4600.
Passo 5 — Calcular o custo do Ciclo Equilibrado
Com os custos horários conhecidos (A = R$ 55,00, B = R$ 25,00), calculamos o custo total para 50 horas de cada máquina. Como o custo é linear, basta multiplicar cada custo horário pelas horas e somar.
Por que esta fórmula: O custo total é a soma dos custos individuais: horas da A vezes custo da A, mais horas da B vezes custo da B. Para o Ciclo Equilibrado, ambos são 50 horas.
De onde vem cada valor: = enunciado: horas de cada máquina no Ciclo Equilibrado · = passo 4 · = passo 3
= R$ 4.000,00
NÃO CAIA NESSA!
Usar a média simples dos custos totais (4600+3400)/2 = 4000, que por coincidência dá o mesmo valor, mas não é o método correto.