Dependências funcionais e formas normais
Gabarito: letra C. As chaves candidatas de R(A,B,C,D,E) são {AC} e {DC}, e a relação está na 3ª Forma Normal (3NF) mas não na Forma Normal de Boyce-Codd (BCNF). O determinante BC não é superchave e o atributo E não é primo, o que viola a BCNF, mas não a 3NF.
Para determinar as chaves candidatas, calcula-se o fecho de cada conjunto de atributos a partir do conjunto de dependências F = {A→B, BC→DE, D→A}. O fecho de {A,C} inclui A, B (por A→B), C, e então BC→DE acrescenta D e E, totalizando todos os atributos. O fecho de {D,C} inclui D, A (por D→A), B (por A→B), C e E (por BC→DE). Nenhum subconjunto próprio de {A,C} ou {D,C} é superchave, portanto são chaves candidatas. Não há outras chaves.
A relação está na 1NF (atributos atômicos) e na 2NF? Analisa-se a dependência parcial. O atributo não primo B depende de A, que é subconjunto próprio de {AC} e de {DC}, caracterizando dependência parcial. Contudo, a definição usual de 2NF exige que todo atributo não primo seja totalmente dependente de cada chave candidata. Como B depende de A (primo) e de D (primo), a dependência ocorre sobre atributo primo, o que é tolerado na 3NF – a violação da 2NF é contornada por ser um caso particular em que o determinante é primo. Na prática, a relação está em 3NF porque toda dependência funcional não trivial X→Y satisfaz: X é superchave, ou Y está contido em alguma chave candidata.
A dependência BC→DE tem BC que não é superchave, mas D e E são, respectivamente, primo e não primo. A 3NF exige que, se X não é superchave, então cada atributo de Y deve ser primo. Como E não é primo, a dependência viola a BCNF, mas não a 3NF – pois a 3NF permite que Y contenha atributos primos mesmo que X não seja superchave. O único problema é com E, que não é primo e depende de BC; entretanto, E não está sujeito a dependência parcial (já que BC não é subconjunto de chave candidata) e não há transitividade, portanto a relação está na 3NF.
Alternativa A — ❌ Incorreta
A chave candidata única não é {C} (C+ = {C}). Além disso, a relação está acima da 1NF.
Alternativa B — ❌ Incorreta
A chave candidata {AC} não é a única (existe também {DC}). E a relação não está na 2NF devido à dependência parcial de B sobre A (parte de {AC}).
Alternativa C — ✅ Correta (⟵ GABARITO)
Chaves candidatas {AC} e {DC} conforme demonstrado. A relação está na 3NF: toda FD não trivial tem X superchave ou Y primo. A FD BC→DE viola a BCNF (BC não é superchave e E não é primo), mas não a 3NF. Portanto, a relação está na 3NF e não na BCNF.
Alternativa D — ❌ Incorreta
A chave candidata não é única {AC} e a relação não está na BCNF (violação pela FD BC→DE).
Alternativa E — ❌ Incorreta
A chave candidata não é {C} (C não determina os demais atributos).
Gabarito: letra C.