Questão de Estatística — Inferência estatística — FGV 2026

Teste de hipóteses para a média com variância conhecida

Gabarito: letra B. O valor da estatística de teste é Z = 2,00, inferior ao valor crítico de 2,33 para o nível de significância de 1% em teste unilateral à direita. Portanto, não há evidência estatística suficiente para rejeitar a hipótese nula, recomendando-se a manutenção do benefício. A estatística é calculada por $Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$, com $\bar{x} = 824$, $\mu_0 = 800$, $\sigma = 120$ e $n = 100$.

O teste de hipóteses é um procedimento da inferência estatística que usa dados amostrais para decidir entre duas afirmações sobre um parâmetro populacional: a hipótese nula ($H_0$) e a hipótese alternativa ($H_1$). Nesta questão, a legislação define que o benefício deve ser descontinuado se houver evidência de que a renda média populacional ($\mu$) superou R$ 800,00. Assim, as hipóteses são:

• $H_0: \mu \leq 800$ (a renda média não superou R$ 800,00 — o benefício deve ser mantido);

• $H_1: \mu > 800$ (a renda média superou R$ 800,00 — o benefício deve ser suspenso).

Como o desvio padrão populacional é conhecido ($\sigma = 120$) e a amostra é grande ($n = 100$), a estatística de teste segue aproximadamente a distribuição Normal Padrão sob $H_0$:

O valor crítico para um teste unilateral à direita com nível de significância de 1% é $z_{crítico} = 2,33$. A regra de decisão é: rejeitar $H_0$ se $Z > 2,33$; caso contrário, não rejeitar $H_0$. Como $2,00 < 2,33$, a estatística de teste cai na região de não rejeição. Isso significa que a diferença entre a média amostral (R$ 824,00) e o valor de referência (R$ 800,00) não é estatisticamente significativa ao nível de 1% — ou seja, pode ser explicada pela variabilidade amostral, não sendo suficiente para afirmar que a renda média populacional realmente superou R$ 800,00.

A distinção crucial aqui é entre significância estatística e significância prática. A média amostral é numericamente maior que R$ 800,00, mas o teste estatístico avalia se essa diferença é grande o suficiente para ser considerada real, dado o desvio padrão e o tamanho da amostra. A banca explora exatamente essa confusão: o candidato que olha apenas para os números (824 > 800) conclui pela suspensão, ignorando o papel da variabilidade e do nível de significância.

O erro do tipo I (rejeitar $H_0$ quando ela é verdadeira) tem probabilidade máxima igual ao nível de significância (1%). Ao não rejeitar $H_0$, não estamos afirmando que $\mu = 800$ ou que $\mu \leq 800$ com certeza; apenas dizemos que a evidência amostral não é forte o suficiente para concluir o contrário. Essa é a lógica do teste: a ausência de evidência para rejeitar não é prova de que a hipótese nula seja verdadeira.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que há evidência suficiente para rejeitar $H_0$ apenas porque a média amostral (824) é superior ao limite (800). Esse raciocínio ignora a variabilidade amostral e o nível de significância. A decisão estatística não se baseia na comparação direta entre a média amostral e o valor de referência, mas sim na comparação entre a estatística de teste (Z = 2,00) e o valor crítico (2,33). Como 2,00 < 2,33, não se rejeita $H_0$.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Calcula corretamente a estatística de teste: $Z = \frac{824 - 800}{120/\sqrt{100}} = 2,00$. Como 2,00 é inferior ao valor crítico de 2,33, conclui-se que não há evidência estatística suficiente para rejeitar a hipótese nula ao nível de 1%. A recomendação coerente é a manutenção do benefício, pois não se comprovou que a renda média superou R$ 800,00.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta a estatística de teste como Z = 0,20, o que está errado (o cálculo correto é 2,00). Além disso, inverte a lógica: um valor baixo da estatística não indica evidência para aceitar a hipótese alternativa; pelo contrário, quanto menor a estatística, mais distante da região crítica, e portanto menos evidência contra $H_0$. A recomendação de suspensão é incoerente com o resultado.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Acerta o valor da estatística (Z = 2,00), mas erra a conclusão: afirma que há evidência para rejeitar $H_0$ quando, na verdade, 2,00 < 2,33, então não se rejeita. A frase "qualquer resultado positivo indica crescimento da renda" é um erro conceitual: o teste não avalia qualquer diferença positiva, mas sim se a diferença é estatisticamente significativa. A conclusão de que "a média populacional é estatisticamente igual a R$ 824,00" também é incorreta — não se afirma igualdade, apenas ausência de evidência para rejeitar $H_0$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta a estatística como Z = 2,40, valor incorreto (o correto é 2,00). Embora afirme que 2,40 > 2,33 e que se rejeita $H_0$, a recomendação de manutenção do benefício é contraditória: se houvesse rejeição, a recomendação seria suspender. Além disso, o valor da estatística está errado, invalidando toda a análise.

Gabarito: letra B.