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Questão de Matemática — Proporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais — FGV 2026

MatemáticaProporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais
Código
fg156246
Banca
FGV
Órgão
TCE SC
Ano
2026
Cargo
AFCE (TCE-SC)
Em uma urna há bolas brancas, bolas pretas e bolas vermelhas. Não há outras bolas na urna. Para cada 2 bolas brancas, há 3 bolas vermelhas, e para cada bola preta, há 2 bolas vermelhas. Retiram-se 10 bolas de cada cor da urna e, agora, a quantidade de bolas pretas é 15\frac{1}{5} do total de bolas.   A quantidade inicial de bolas na urna era
  1. A91.
  2. B104.
  3. C117.
  4. D130.
  5. E147.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 130.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 130 bolas — alternativa D.

A ideia por trás

Quando dizemos que duas grandezas estão na razão de 2 para 3, significa que a cada 2 unidades de uma correspondem 3 unidades da outra. Isso é uma proporção: a fração entre elas é constante. Aqui, as quantidades de bolas de cada cor mantêm uma proporção fixa entre si, e o problema pede para descobrir quantas bolas havia no início, antes de qualquer retirada.

A razão entre brancas e vermelhas é B/V = 2/3, e entre pretas e vermelhas é P/V = 1/2. Isso permite escrever B e P em função de V: B = (2/3)V e P = (1/2)V. Depois de retirar 10 de cada cor, as novas quantidades são B−10, P−10 e V−10. A condição final diz que P−10 é um quinto do total restante, ou seja, P−10 = (1/5)(B−10 + P−10 + V−10). Essa equação, com as expressões em função de V, permite achar V e, com ele, o total inicial.

Esta questão cobra a montagem de um sistema a partir de razões e a resolução de uma equação com frações. O passo crucial é expressar todas as quantidades em função de uma única variável, V, e depois aplicar a condição final.

O que a questão dá

  • razão brancas : vermelhas = 2 : 3

  • razão pretas : vermelhas = 1 : 2

  • retiram-se 10 bolas de cada cor

  • após a retirada, pretas = 1/5 do total restante

O que queremos: a quantidade inicial de bolas na urna

Passo 1 — Escrever as razões em função de V

Para trabalhar com as quantidades, precisamos de uma base comum. Como as duas razões são dadas em relação às vermelhas, usamos V como referência e escrevemos B e P em função dela.

Por que esta fórmula: Da razão B/V = 2/3, isolamos B = (2/3)V. Da razão P/V = 1/2, isolamos P = (1/2)V.

B=23V,P=12VB = \frac{2}{3}V, \quad P = \frac{1}{2}V

De onde vem cada valor: BB = enunciado: razão brancas : vermelhas = 2 : 3 · PP = enunciado: razão pretas : vermelhas = 1 : 2 · VV = definição: número de bolas vermelhas (incógnita)

NÃO CAIA NESSA!

Inverter as razões, escrevendo B = (3/2)V ou P = 2V.

Passo 2 — Aplicar a retirada de 10 bolas

O enunciado diz que são retiradas 10 bolas de cada cor. Isso altera as quantidades, e a condição final usa essas novas quantidades.

Por que esta fórmula: Subtraímos 10 de cada expressão: B' = B − 10, P' = P − 10, V' = V − 10.

B′=23V−10,P′=12V−10,V′=V−10B' = \frac{2}{3}V - 10, \quad P' = \frac{1}{2}V - 10, \quad V' = V - 10

De onde vem cada valor: B′B' = passo 1: B = (2/3)V, menos 10 · P′P' = passo 1: P = (1/2)V, menos 10 · V′V' = passo 1: V, menos 10

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair 10 de V também.

Passo 3 — Montar a equação da condição final

A condição 'pretas = 1/5 do total' relaciona as quantidades após a retirada. Precisamos transformar essa frase em uma equação para poder resolver.

Por que esta fórmula: O total restante é a soma das três novas quantidades. A condição diz que P' é um quinto desse total, então P' = (1/5)(B' + P' + V').

12V−10=15(23V−10+12V−10+V−10)\frac{1}{2}V - 10 = \frac{1}{5}\left(\frac{2}{3}V - 10 + \frac{1}{2}V - 10 + V - 10\right)

De onde vem cada valor: P′P' = passo 2: (1/2)V − 10 · B′B' = passo 2: (2/3)V − 10 · V′V' = passo 2: V − 10

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar as três parcelas dentro do parêntese, ou usar o total inicial em vez do restante.

Passo 4 — Simplificar a equação

Para resolver, precisamos juntar os termos semelhantes dentro do parêntese e simplificar a expressão.

Por que esta fórmula: Somamos os coeficientes de V: (2/3 + 1/2 + 1) = (4/6 + 3/6 + 6/6) = 13/6. E somamos as constantes: −10 −10 −10 = −30.

12V−10=15(136V−30)\frac{1}{2}V - 10 = \frac{1}{5}\left(\frac{13}{6}V - 30\right)

De onde vem cada valor: 13/613/6 = passo 3: soma dos coeficientes de V: 2/3 + 1/2 + 1 · −30-30 = passo 3: soma das constantes: -10 -10 -10

NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma das frações, por exemplo, somar 2/3 + 1/2 = 3/5.

Passo 5 — Resolver a equação para V

Agora temos uma equação linear com uma incógnita. Precisamos isolá-la para descobrir o número de bolas vermelhas.

Por que esta fórmula: Multiplicamos ambos os lados por 5 para eliminar a fração externa, depois subtraímos (13/6)V de ambos os lados e somamos 50, obtendo (1/3)V = 20, logo V = 60.

V=60V = 60

De onde vem cada valor: VV = passo 4: resolução da equação

VV = 60 bolas vermelhas

NÃO CAIA NESSA!

Errar a aritmética ao multiplicar por 5 ou ao subtrair frações.

Passo 6 — Calcular B e P iniciais

Com V conhecido, usamos as razões iniciais para achar as quantidades de brancas e pretas.

Por que esta fórmula: Substituímos V = 60 nas expressões do passo 1: B = (2/3)·60 = 40 e P = (1/2)·60 = 30.

B=23×60,P=12×60B = \frac{2}{3} \times 60, \quad P = \frac{1}{2} \times 60

De onde vem cada valor: BB = passo 1: B = (2/3)V, com V = 60 · PP = passo 1: P = (1/2)V, com V = 60

B=23×60,P=12×60B = \frac{2}{3} \times 60, \quad P = \frac{1}{2} \times 60

B = 40, P = 30

NÃO CAIA NESSA!

Usar V = 60 em B = (3/2)V ou P = 2V, se inverteu as razões.

Passo 7 — Somar para obter o total inicial

A pergunta é sobre a quantidade inicial total, então somamos as quantidades iniciais de cada cor.

Por que esta fórmula: Total = B + P + V = 40 + 30 + 60 = 130.

Total=B+P+VTotal = B + P + V

De onde vem cada valor: BB = passo 6: 40 · PP = passo 6: 30 · VV = passo 5: 60

Total=40+30+60=130 bolasTotal = 40 + 30 + 60 = \boxed{130\ \text{bolas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar V, ou usar as quantidades após a retirada.

Resposta: 130 bolas — alternativa D

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