Questão de Matemática — Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão de Números Naturais — FGV 2026

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a A + B + C = 17 — alternativa E.

A ideia por trás

Um criptograma aritmético é um quebra-cabeça em que letras escondem algarismos e a operação montada é a pista para descobri-los. Aqui temos uma adição de dois números: ABA (três algarismos) e DCCD (quatro algarismos), cuja soma é 2026. Cada letra vale um algarismo de 0 a 9, letras diferentes valem algarismos diferentes, e A e D não podem ser zero porque são o primeiro algarismo de cada número.

No sistema decimal, somamos coluna a coluna, da direita para a esquerda: unidades, dezenas, centenas, milhares. Quando a soma de uma coluna passa de 9, o excedente 'vai um' para a coluna seguinte. Por exemplo, 7 + 5 = 12: escrevemos 2 e levamos 1 para a dezena. Essa regra vale para qualquer adição, e é ela que transforma cada coluna em uma equação com possíveis transportes.

Esta questão cobra exatamente esse raciocínio: montar as equações de cada coluna, testar as possibilidades de transporte e usar a restrição de algarismos diferentes para achar A, B, C e D. O valor final é a soma pedida.

O que a questão dá

• adição: ABA + DCCD = 2026 (resultado da soma)

• cada letra representa um algarismo diferente

• A ≠ 0 e D ≠ 0

O que queremos: o valor de A + B + C

Passo 1 — Montar a equação das unidades

Começamos pela coluna mais à direita, porque ela não recebe transporte de nenhuma coluna anterior. A soma dos algarismos das unidades, A + D, deve resultar no algarismo das unidades do total, que é 6. Como A e D são algarismos de 1 a 9 (não podem ser zero), a soma máxima é 9 + 8 = 17, então pode haver transporte, mas o algarismo escrito é 6.

Por que esta fórmula: A adição é feita coluna a coluna: o algarismo da unidade do resultado é o resto da divisão por 10 da soma da coluna. Aqui, como o resultado é 6, temos A + D = 6 ou A + D = 16 (se houver 'vai um' para a dezena). Mas A e D são diferentes e ambos não nulos, então a única possibilidade é A + D = 6, pois 16 exigiria, por exemplo, 7 + 9 = 16, mas aí o algarismo das unidades seria 6, o que é possível, mas vamos verificar depois. Por enquanto, anotamos as duas possibilidades.

De onde vem cada valor: $A$ = enunciado: algarismo das unidades de ABA · $D$ = enunciado: algarismo das unidades de DCCD · $6$ = enunciado: algarismo das unidades do resultado 2026

Passo 2 — Montar a equação das dezenas

Agora olhamos a coluna das dezenas: B + C, mais o possível transporte vindo das unidades. O algarismo das dezenas do resultado é 2. Como B e C são algarismos diferentes, a soma B + C pode ser 2 (sem transporte) ou 12 (com transporte). Mas se B + C = 2, as únicas combinações são (0,2), (1,1) ou (2,0), e como B e C devem ser diferentes, (1,1) é inválida; (0,2) e (2,0) são possíveis, mas vamos ver se isso leva a uma solução consistente.

Por que esta fórmula: A soma da coluna das dezenas é B + C + (transporte da unidade). O algarismo escrito é 2, então B + C + t = 2 ou 12, onde t é 0 ou 1. Como B e C são algarismos, a soma máxima é 9 + 8 = 17, então B + C + t pode ser 2 ou 12. Se for 2, não há transporte para as centenas; se for 12, há transporte de 1.

De onde vem cada valor: $B$ = enunciado: algarismo das dezenas de ABA · $C$ = enunciado: algarismo das dezenas de DCCD · $t$ = passo 1: transporte da coluna das unidades (0 ou 1) · $2$ = enunciado: algarismo das dezenas do resultado 2026

Passo 3 — Montar a equação das centenas

Seguimos para a coluna das centenas: A + C, mais o transporte das dezenas. O algarismo das centenas do resultado é 0. Isso significa que a soma A + C + t2 deve terminar em 0, ou seja, ser 0 ou 10. Como A e C são algarismos não nulos e diferentes, a soma mínima é 1 + 2 = 3, então não pode ser 0. Portanto, deve ser 10, com transporte de 1 para os milhares.

Por que esta fórmula: A soma da coluna das centenas é A + C + (transporte das dezenas). O algarismo escrito é 0, então A + C + t2 = 0 ou 10. Como A e C são positivos, a única possibilidade é 10, gerando transporte de 1.

De onde vem cada valor: $A$ = enunciado: algarismo das centenas de ABA · $C$ = enunciado: algarismo das centenas de DCCD · $t_2$ = passo 2: transporte da coluna das dezenas (0 ou 1) · $10$ = enunciado: algarismo das centenas do resultado é 0, então a soma deve ser 10

Passo 4 — Montar a equação dos milhares

Por fim, a coluna dos milhares: D mais o transporte das centenas. O algarismo dos milhares do resultado é 2. Como D é não nulo, e o transporte das centenas é 1 (do passo 3), temos D + 1 = 2, logo D = 1.

Por que esta fórmula: A soma da coluna dos milhares é D + (transporte das centenas). O resultado é 2, então D + t3 = 2. Como t3 = 1, D = 1.

De onde vem cada valor: $D$ = enunciado: algarismo dos milhares de DCCD · $t_3$ = passo 3: transporte da coluna das centenas (1) · $2$ = enunciado: algarismo dos milhares do resultado 2026

Passo 5 — Descobrir A usando a equação das unidades

Com D = 1, voltamos à coluna das unidades: A + D = 6, então A + 1 = 6, logo A = 5. Isso também confirma que não houve transporte das unidades, pois 5 + 1 = 6, que é menor que 10.

Por que esta fórmula: Da equação do passo 1, A + D = 6 (sem transporte, pois 6 < 10). Substituímos D por 1.

De onde vem cada valor: $A$ = passo 1: incógnita da equação das unidades · $D$ = passo 4: 1 · $6$ = enunciado: algarismo das unidades do resultado

Passo 6 — Descobrir C usando a equação das centenas

Agora usamos a equação das centenas: A + C + t2 = 10. Precisamos saber o transporte t2 das dezenas. Vamos analisar: se t2 = 0, então 5 + C = 10 → C = 5, mas C não pode ser igual a A (5). Se t2 = 1, então 5 + C + 1 = 10 → C = 4. Então C = 4.

Por que esta fórmula: Da equação do passo 3, A + C + t2 = 10. Testamos as duas possibilidades para t2 (0 ou 1) e vemos qual respeita a regra de algarismos diferentes.

De onde vem cada valor: $A$ = passo 5: 5 · $C$ = passo 3: incógnita da equação das centenas · $t_2$ = passo 2: transporte das dezenas (0 ou 1)

C = 4 (com t2 = 1)

Passo 7 — Descobrir B usando a equação das dezenas

Com C = 4 e sabendo que houve transporte das dezenas (t2 = 1), a equação das dezenas é B + C + t = 12, onde t é o transporte das unidades. Como A + D = 6, t = 0. Então B + 4 + 0 = 12 → B = 8. Mas B = 8, e C = 4, A = 5, D = 1, todos diferentes, ok.

Por que esta fórmula: Da equação do passo 2, B + C + t = 12 (pois o algarismo das dezenas é 2 e houve transporte para as centenas, então a soma foi 12). Substituímos C = 4 e t = 0.

De onde vem cada valor: $B$ = passo 2: incógnita da equação das dezenas · $C$ = passo 6: 4 · $t$ = passo 1: transporte das unidades (0, pois A + D = 6)

Passo 8 — Somar A, B e C

Agora temos todos os valores: A = 5, B = 8, C = 4. Basta somar para obter a resposta.

Por que esta fórmula: A pergunta pede A + B + C, então é uma soma direta.

De onde vem cada valor: $A$ = passo 5: 5 · $B$ = passo 7: 8 · $C$ = passo 6: 4

Resposta: A + B + C = 17 — alternativa E