Questão de Matemática — Progressão Aritmética — FGV 2024

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 2399 — alternativa C.

A ideia por trás

Uma progressão aritmética é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma constante ao termo anterior. Essa constante é chamada de razão. No nosso caso, a sequência começa em 23 e cada termo seguinte é 24 unidades maior, então a razão é 24. Os primeiros termos seriam 23, 47, 71, 95, ...

A fórmula do termo geral de uma PA é a_n = a_1 + (n-1) * r, onde a_n é o n-ésimo termo, a_1 é o primeiro termo, n é a posição do termo e r é a razão. Essa fórmula evita que tenhamos que somar a razão 99 vezes manualmente. Ela mostra que, para chegar ao 100º termo, partimos do primeiro e somamos a razão 99 vezes, porque do 1º para o 2º é uma soma, do 2º para o 3º é outra, e assim por diante.

Esta questão cobra exatamente a aplicação da fórmula do termo geral, com o cuidado de usar (n-1) e não n. O erro mais comum é somar a razão 100 vezes em vez de 99, o que daria o 101º termo.

O que a questão dá

• primeiro termo = 23

• razão = 24

• posição do termo procurado = 100

O que queremos: o 100º termo da sequência

Passo 1 — Aplicar a fórmula do termo geral

Agora que temos a_1 = 23, r = 24 e n = 100, podemos usar a fórmula do termo geral da PA. Ela nos dá o valor de qualquer termo sem precisar somar a razão várias vezes. O ponto crucial é que, para o 100º termo, somamos a razão 99 vezes, porque o primeiro termo já é o ponto de partida.

Por que esta fórmula: A fórmula a_n = a_1 + (n-1) * r é a definição do termo geral de uma PA. Ela é a única que relaciona diretamente a posição do termo com o seu valor, usando a razão.

De onde vem cada valor: $a_1$ = enunciado: primeiro termo = 23 · $n$ = enunciado: posição do termo procurado = 100 · $r$ = enunciado: razão = 24

Passo 2 — Calcular a multiplicação

Com a expressão simplificada, precisamos efetuar a multiplicação 99 * 24 para obter o valor numérico. Esse é um passo de aritmética básica, mas é onde muitos erram por distração.

Passo 3 — Somar o primeiro termo

Agora que temos o valor da multiplicação, basta somar o primeiro termo para obter o termo procurado. Esse é o passo final do cálculo.

Resposta: 2399 — alternativa C