Questão de Matemática — Polinômios e Equações Polinomiais. Expansão de Binômios. Triângulo de Pascal — FGV 2024

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a O resto é 2 — alternativa C.

A ideia por trás

Dividir um polinômio por outro é procurar um quociente e um resto que satisfaçam: Dividendo = Quociente × Divisor + Resto. O resto é o que sobra quando o dividendo não é múltiplo exato do divisor, e seu grau é sempre menor que o do divisor. Quando o divisor é de primeiro grau, o resto é um número constante.

O Teorema do Resto (ou de D'Alembert) diz que o resto da divisão de P(x) por x - a é exatamente P(a). Isso acontece porque, ao substituir x = a na relação Dividendo = Quociente × Divisor + Resto, o termo Quociente × Divisor zera (já que o divisor vira zero), sobrando só o resto. Assim, em vez de fazer a divisão inteira, basta calcular o valor do polinômio no ponto que anula o divisor.

Aqui o divisor é x + 1, que é o mesmo que x - (-1). Então o ponto que anula o divisor é a = -1, e o resto é P(-1). Basta substituir -1 no polinômio.

O que a questão dá

• P(x) = x² + 23x + 24

• divisor = x + 1

O que queremos: o resto da divisão de P(x) por x + 1

Passo 1 — Identificar o valor de a no divisor

O Teorema do Resto exige que o divisor esteja na forma x - a. O divisor dado é x + 1, que é o mesmo que x - (-1). Então a = -1. Esse é o ponto que zera o divisor e onde vamos avaliar o polinômio.

Passo 2 — Calcular P(-1) substituindo no polinômio

Pelo Teorema do Resto, o resto é P(a). Como a = -1, precisamos calcular P(-1). Isso é só substituir x por -1 em cada termo do polinômio.

Por que esta fórmula: A fórmula é a própria definição do polinômio: P(x) = x² + 23x + 24. Substituímos x por -1.

De onde vem cada valor: $(-1)^{2}$ = definição: termo x² do polinômio com x = -1 · $23 \cdot (-1)$ = definição: termo 23x do polinômio com x = -1 · $24$ = constante: termo independente do polinômio

Resposta: O resto é 2 — alternativa C