GabaritoE — (2, -5).
Gabarito: letra E. O ponto (2, -5) é o ponto da circunferência (x - 4)² + (y + 5)² = 4 mais próximo do eixo-y, pois a distância de um ponto ao eixo-y é o valor absoluto de sua abscissa (|x|), e o ponto com a menor abscissa em módulo que pertence à circunferência é aquele que está na extremidade esquerda do diâmetro horizontal, ou seja, (2, -5).
A equação (x - 4)² + (y + 5)² = 4 está na forma reduzida da circunferência, que é (x - a)² + (y - b)² = r², onde (a, b) é o centro e r é o raio. Comparando, temos que o centro é C(4, -5) e o raio é r = 2 (pois r² = 4). A distância de um ponto qualquer (x, y) ao eixo-y é dada por |x|, a distância horizontal até o eixo vertical. Para encontrar o ponto da circunferência mais próximo do eixo-y, precisamos minimizar |x|, ou seja, encontrar o ponto com a menor abscissa em valor absoluto que ainda pertença à circunferência.
Como o centro tem abscissa x = 4 e o raio é 2, os pontos da circunferência têm abscissas que variam de 4 - 2 = 2 até 4 + 2 = 6. O menor valor absoluto de x ocorre em x = 2, que é o ponto mais à esquerda da circunferência. Para encontrar a coordenada y desse ponto, substituímos x = 2 na equação da circunferência: (2 - 4)² + (y + 5)² = 4, o que dá (-2)² + (y + 5)² = 4, ou seja, 4 + (y + 5)² = 4, logo (y + 5)² = 0, e portanto y = -5. Assim, o ponto é (2, -5).
A pegadinha desta questão é que muitos alunos podem tentar encontrar o ponto mais próximo do eixo-y calculando a distância de cada ponto alternativo ao eixo-y, mas sem verificar se o ponto realmente pertence à circunferência. Por exemplo, o ponto (-4, 5) tem |x| = 4, que é maior que 2, então não é o mais próximo. Além disso, é importante notar que o ponto mais próximo do eixo-y não é necessariamente o ponto com a menor coordenada x, mas sim o ponto com o menor valor absoluto de x, pois a distância ao eixo-y é sempre não negativa.
Outra forma de pensar é que o ponto mais próximo do eixo-y é aquele que está na extremidade do diâmetro horizontal da circunferência, no lado esquerdo. Como o centro é (4, -5) e o raio é 2, o ponto mais à esquerda é (4 - 2, -5) = (2, -5). Esse é o ponto que minimiza a distância ao eixo-y, que é |2| = 2. Qualquer outro ponto da circunferência terá uma abscissa com valor absoluto maior que 2, portanto estará mais distante do eixo-y.
Critério | Ponto (2, -5) — ✅ Correta | Ponto (4, -3) — ❌ Incorreta | Demais alternativas (A, B, D) — ❌ Incorretas |
|---|---|---|---|
Pertence à circunferência? | Sim: (2-4)² + (-5+5)² = 4 | Sim: (4-4)² + (-3+5)² = 4 | Não: substituição na equação resulta em 164, 128 e 136, respectivamente (≠ 4) |
Distância ao eixo-y (|x|) | |2| = 2 (mínima possível) | |4| = 4 (maior que 2) | |x| = 4, 4 e 2, respectivamente (mas não pertencem à circunferência) |
Posição na circunferência | Extremidade esquerda do diâmetro horizontal (x = 4 - 2) | Ponto superior do diâmetro vertical (y = -5 + 2) | Fora da circunferência, portanto inválidos |
O ponto (-4, 5) não pertence à circunferência, pois substituindo na equação: (-4 - 4)² + (5 + 5)² = (-8)² + (10)² = 64 + 100 = 164 ≠ 4. Além disso, mesmo que pertencesse, sua distância ao eixo-y seria |x| = 4, que é maior que a distância do ponto correto (|2| = 2).
O ponto (-4, 3) também não pertence à circunferência: (-4 - 4)² + (3 + 5)² = (-8)² + (8)² = 64 + 64 = 128 ≠ 4. Sua distância ao eixo-y seria |x| = 4, maior que 2.
O ponto (4, -3) pertence à circunferência? Verificando: (4 - 4)² + (-3 + 5)² = 0² + 2² = 4, que é igual a 4, então pertence. Porém, sua distância ao eixo-y é |x| = 4, que é maior que a distância do ponto (2, -5), que é 2. Portanto, não é o mais próximo.
O ponto (-2, 5) não pertence à circunferência: (-2 - 4)² + (5 + 5)² = (-6)² + (10)² = 36 + 100 = 136 ≠ 4. Sua distância ao eixo-y seria |x| = 2, que é igual à distância do ponto correto, mas como não pertence à circunferência, não pode ser a resposta.
O ponto (2, -5) pertence à circunferência, pois (2 - 4)² + (-5 + 5)² = (-2)² + 0² = 4, que é igual a 4. Sua distância ao eixo-y é |x| = 2, que é a menor possível entre todos os pontos da circunferência, pois a abscissa varia de 2 a 6, e o menor valor absoluto é 2. Portanto, é o ponto mais próximo do eixo-y.
Gabarito: letra E
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