Questão de Matemática — Equações de Segundo Grau e Equações Biquadradas — FGV 2024

Equações do 2º grau: Relações de Girard

Gabarito: letra A — o valor de $4a + 4b + 7ab$ é $\frac{-21}{2}$. Isso porque, pela Relações de Girard, a soma das raízes é $a+b = -\frac{7}{2}$ e o produto é $ab = \frac{1}{2}$; substituindo na expressão, obtemos $4\left(-\frac{7}{2}\right) + 7\left(\frac{1}{2}\right) = -14 + \frac{7}{2} = -\frac{21}{2}$.

A questão explora um dos temas mais clássicos de equação do 2º grau: as Relações de Girard (também chamadas de relações entre coeficientes e raízes). Para uma equação geral $ax^2 + bx + c = 0$, com raízes $x_1$ e $x_2$, valem as relações:

• Soma das raízes: $S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

• Produto das raízes: $P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Essas relações são extremamente úteis porque permitem calcular expressões com as raízes sem precisar resolvê-las individualmente. No caso da equação $2x^2 + 7x + 1 = 0$, temos $a = 2$, $b = 7$ e $c = 1$. Aplicando as relações:

• $a + b = -\frac{7}{2}$

• $ab = \frac{1}{2}$

Agora, a expressão pedida é $4a + 4b + 7ab$. Podemos reescrevê-la como $4(a+b) + 7ab$. Substituindo os valores encontrados:

$4\left(-\frac{7}{2}\right) + 7\left(\frac{1}{2}\right) = -14 + \frac{7}{2} = -\frac{28}{2} + \frac{7}{2} = -\frac{21}{2}$

Portanto, a alternativa correta é a letra A.

A pegadinha aqui é sutil: o candidato pode se confundir e usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes, o que é mais trabalhoso e sujeito a erros de cálculo. As Relações de Girard resolvem a questão de forma direta e elegante. Além disso, é comum errar o sinal da soma: como $b = 7$ e $a = 2$, a soma é $a+b = -\frac{7}{2}$ (negativa), e não $+\frac{7}{2}$. Esse erro de sinal levaria à alternativa B.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa A é a correta. Conforme demonstrado, usando as Relações de Girard, temos $a+b = -\frac{7}{2}$ e $ab = \frac{1}{2}$. Substituindo na expressão $4(a+b) + 7ab$, obtemos $4\left(-\frac{7}{2}\right) + 7\left(\frac{1}{2}\right) = -14 + \frac{7}{2} = -\frac{21}{2}$. O resultado é exatamente o valor da alternativa A.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa B apresenta o valor $\frac{21}{2}$, que seria o resultado se a soma das raízes fosse considerada positiva ($+\frac{7}{2}$). Esse é o erro clássico de sinal: na equação $2x^2 + 7x + 1 = 0$, o coeficiente $b$ é positivo, mas a soma das raízes é $a+b = -\frac{b}{a} = -\frac{7}{2}$. Quem esquece o sinal negativo na fórmula de Girard chega a $\frac{21}{2}$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C apresenta o valor $\frac{-11}{2}$. Esse número não corresponde a nenhuma combinação correta dos valores de $a+b$ e $ab$. Provavelmente, o candidato cometeu um erro de aritmética ao calcular $4(a+b) + 7ab$, como por exemplo, somar $4\left(-\frac{7}{2}\right) = -14$ com $7\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{7}{2}$ de forma incorreta, obtendo $-\frac{21}{2}$ em vez de $-\frac{11}{2}$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa D apresenta o valor $\frac{11}{2}$. Assim como a alternativa C, esse valor não tem relação direta com os cálculos corretos. Pode ser resultado de um erro de sinal combinado com um erro de aritmética, como considerar a soma positiva e o produto negativo, ou errar na soma das frações.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa E apresenta o valor $\frac{7}{2}$. Esse número corresponde apenas ao valor de $7ab$, ignorando completamente o termo $4(a+b)$. O candidato que escolhe essa alternativa provavelmente calculou apenas o produto das raízes multiplicado por 7, esquecendo-se da soma.

Gabarito: letra A