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Questão de Matemática — Inequações de Primeiro Grau (Inequações Simultâneas, Inequações-Produto e Quociente) — FGV 2024

MatemáticaInequações de Primeiro Grau (Inequações Simultâneas, Inequações-Produto e Quociente)
Código
fg164319
Banca
FGV
Órgão
CBM RJ
Ano
2024
Cargo
Cad ( )

Sobre dois números inteiros x e y, sabe-se que:

{2x+y+>10x−6≤0\begin{cases} 2x + y + > 10 & \\ x - 6 ≤ 0 & \end{cases}

O valor mínimo de y é:

  1. A-3.
  2. B-2.
  3. C-1.
  4. D0.
  5. E1.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — -1.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a y = -1 — alternativa C.

A ideia por trás

Uma inequação do primeiro grau é uma sentença matemática que compara duas expressões usando os sinais >, <, ≥ ou ≤. Resolver um sistema de inequações é encontrar os valores das incógnitas que satisfazem todas as condições ao mesmo tempo. Aqui, x e y são números inteiros, ou seja, podem ser ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...

Quando temos uma inequação como x - 6 ≤ 0, podemos isolar a incógnita somando ou subtraindo dos dois lados, mantendo o sinal da desigualdade. Já em 2x + y > 10, se quisermos isolar y, subtraímos 2x dos dois lados, obtendo y > 10 - 2x. O sinal de desigualdade permanece o mesmo, pois não multiplicamos ou dividimos por número negativo. O valor mínimo de y será o menor inteiro que satisfaz essa condição, considerando o maior valor possível de 2x.

Esta questão cobra a resolução de um sistema de inequações lineares com variáveis inteiras. O passo crucial é usar a segunda inequação para limitar x e, assim, encontrar o menor valor possível para y.

O que a questão dá

  • 2x + y > 10

  • x - 6 ≤ 0

  • x e y são números inteiros

O que queremos: o valor mínimo de y que satisfaz as duas inequações

Passo 1 — Isolar x na segunda inequação

Precisamos saber quais valores de x são permitidos para depois substituir na primeira inequação. A segunda inequação é mais simples e nos dá um limite direto para x.

Por que esta fórmula: Para isolar x, somamos 6 dos dois lados da inequação x - 6 ≤ 0, mantendo o sinal de desigualdade.

x≤6x \leq 6

De onde vem cada valor: xx = enunciado: x - 6 ≤ 0

x−6+6≤0+6=x≤6x - 6 + 6 \leq 0 + 6 = \boxed{\text{x} ≤ 6}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar 6 dos dois lados, ou inverter o sinal da desigualdade sem necessidade.

Passo 2 — Substituir o limite de x na primeira inequação

Agora que sabemos que x ≤ 6, podemos usar isso para encontrar um limite para y. Como 2x é no máximo 12 (quando x = 6), substituímos esse valor máximo na inequação 2x + y > 10 para obter a condição mais forte sobre y.

Por que esta fórmula: Queremos o menor y possível, então precisamos do maior valor de 2x, que ocorre quando x é máximo, ou seja, x = 6. Substituímos x = 6 em 2x + y > 10.

2⋅6+y>102 \cdot 6 + y > 10

De onde vem cada valor: 2⋅62 \cdot 6 = passo 1: x ≤ 6, então o maior valor de 2x é 12 · yy = enunciado: 2x + y > 10

12+y>10=y>−212 + y > 10 = \boxed{\text{y} > -2}
NÃO CAIA NESSA!

Usar um valor de x menor que 6, o que daria um limite maior para y, mas não o mínimo.

Passo 3 — Encontrar o menor inteiro maior que -2

A inequação y > -2 diz que y deve ser estritamente maior que -2. Como y é inteiro, os valores possíveis são -1, 0, 1, ... O menor deles é -1.

Por que esta fórmula: Não há fórmula; é uma análise de números inteiros. O menor inteiro que é maior que -2 é -1, pois -2 não é permitido (a desigualdade é estrita).

y=−1y = \boxed{-1}
NÃO CAIA NESSA!

Marcar -2, esquecendo que a desigualdade é estrita (>) e não ≥.

Resposta: y = -1 — alternativa C

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