GabaritoE — 51 cm.
Gabarito: letra E — a conta chega a 51 cm — alternativa E.
A tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a esse ângulo. Ela indica quantas vezes o cateto oposto é maior (ou menor) que o adjacente, mas não dá os tamanhos reais — apenas a proporção entre eles.
Se a tangente é 5/12, então os catetos podem ser escritos como 5k e 12k, onde k é um fator de escala comum. O Teorema de Pitágoras relaciona os catetos com a hipotenusa: (5k)² + (12k)² = (hipotenusa)². Como 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13², a hipotenusa é proporcional a 13k. Assim, conhecendo a hipotenusa real, encontramos k e, com ele, os catetos reais.
Esta questão cobra exatamente essa passagem da proporção para os valores reais: usar a tangente para montar os catetos proporcionais, aplicar Pitágoras para achar a hipotenusa proporcional e, com a hipotenusa dada, descobrir o fator de escala.
hipotenusa = 39 cm
tangente de um ângulo agudo = 5/12
O que queremos: a soma das medidas dos catetos do triângulo
A tangente 5/12 nos diz que, se um cateto vale 5 partes, o outro vale 12 partes. Mas não sabemos o tamanho de cada parte — por isso usamos uma letra k para representar esse tamanho. Assim, os catetos são 5k e 12k, e k é o fator que vamos descobrir.
Por que esta fórmula: A definição de tangente é cateto oposto dividido pelo adjacente. Se essa razão é 5/12, então os catetos são múltiplos de 5 e 12, respectivamente.
De onde vem cada valor: = enunciado: tangente = 5/12 · = enunciado: tangente = 5/12 · = definição: fator de escala a determinar
Achar que os catetos são exatamente 5 cm e 12 cm, esquecendo o fator k — isso só valeria se a hipotenusa fosse 13 cm.
Com os catetos em função de k, o Teorema de Pitágoras relaciona os três lados. Ele diz que o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos — é a ferramenta que liga a proporção à hipotenusa.
Por que esta fórmula: O Teorema de Pitágoras é a relação fundamental do triângulo retângulo: a² + b² = c², onde c é a hipotenusa. Aqui, a = 5k e b = 12k.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = passo 1
Esquecer de elevar k ao quadrado e escrever 5k² + 12k² = 17k², o que daria hipotenusa errada.
A hipotenusa proporcional é 13k, mas a hipotenusa real é 39 cm. Igualando os dois, encontramos k — o número que multiplica a proporção para obter os tamanhos reais.
Por que esta fórmula: Como a hipotenusa real é um múltiplo da proporcional, basta dividir o valor real pelo valor proporcional.
De onde vem cada valor: = enunciado: 39 cm · = passo 2: hipotenusa proporcional = 13k
Dividir 39 por 5 ou por 12, confundindo a hipotenusa com um dos catetos.
Com k = 3, multiplicamos a proporção para obter os comprimentos reais dos catetos. Isso é necessário porque a tangente só deu a razão, não os tamanhos.
Por que esta fórmula: Os catetos são 5k e 12k, então substituímos k pelo valor encontrado.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = passo 1 · = passo 3: 3
Esquecer de multiplicar um dos catetos, ou usar k = 3 apenas em um deles.
A pergunta pede a soma das medidas dos catetos, então agora que temos os dois valores, basta somá-los.
Por que esta fórmula: Soma direta dos dois comprimentos.
De onde vem cada valor: = passo 4: 15 cm · = passo 4: 36 cm
Somar 5 + 12 = 17, esquecendo o fator de escala — isso daria a alternativa B, que é um distrator.
Resposta: 51 cm — alternativa E
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