Questão de Matemática — Sistemas Lineares — FGV 2024

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a Z = 42 — alternativa A.

A ideia por trás

Um sistema linear é um conjunto de equações que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo, com as mesmas letras representando os mesmos números em todas elas. Aqui, as duas primeiras equações são bem simples: cada uma tem a mesma letra somada três vezes, então elas funcionam como uma pista direta para descobrir quanto vale cada letra.

A terceira equação mistura as letras com uma multiplicação e uma adição. A ordem das operações manda fazer a multiplicação antes da adição, a não ser que haja parênteses mandando o contrário. Isso significa que X + X ⋅ Y é o mesmo que X + (X ⋅ Y), e não (X + X) ⋅ Y.

Esta questão cobra exatamente isso: primeiro descobrir X e Y pelas equações isoladas, depois substituir na terceira respeitando a ordem das operações. O erro mais comum é somar antes de multiplicar, o que leva a um dos distratores.

O que a questão dá

• X + X + X = 21

• Y + Y + Y = 15

• X + X ⋅ Y = Z

O que queremos: o valor de Z

Passo 1 — Descobrir o valor de X

A primeira equação só tem X, então é o ponto de partida. Somar X três vezes é o mesmo que multiplicar X por 3, então a equação vira uma conta de vezes simples.

Por que esta fórmula: X + X + X = 3X, então a equação 3X = 21 é resolvida dividindo os dois lados por 3.

De onde vem cada valor: $3$ = enunciado: X + X + X · $21$ = enunciado: X + X + X = 21

Passo 2 — Descobrir o valor de Y

A segunda equação é igual à primeira, mas com Y. Como já sabemos o método, aplicamos o mesmo raciocínio.

Por que esta fórmula: Y + Y + Y = 3Y, então 3Y = 15 e Y = 15 ÷ 3.

De onde vem cada valor: $3$ = enunciado: Y + Y + Y · $15$ = enunciado: Y + Y + Y = 15

Passo 3 — Substituir X e Y na terceira equação

Agora que sabemos os valores das letras, a terceira equação vira uma expressão numérica. É aqui que a ordem das operações decide tudo.

Por que esta fórmula: A equação é Z = X + X ⋅ Y. Substituímos X por 7 e Y por 5, mantendo a multiplicação indicada.

De onde vem cada valor: $7$ = passo 1 · $5$ = passo 2

Passo 4 — Calcular a multiplicação antes da adição

A ordem das operações manda resolver a multiplicação primeiro. Isso é uma regra fixa da matemática, não uma escolha.

Por que esta fórmula: 7 × 5 = 35, então a expressão fica 7 + 35.

De onde vem cada valor: $7$ = passo 3 · $35$ = constante: 7 × 5

Resposta: Z = 42 — alternativa A