GabaritoC — 14,4 cm
Gabarito: letra C — a conta chega a 14,4 cm — alternativa C.
Quando um segmento é traçado dentro de um triângulo, paralelo a um dos lados, ele corta o triângulo original em um triângulo menor e um trapézio. Esse triângulo menor é semelhante ao original: os ângulos correspondentes são iguais, então as medidas dos lados correspondentes são proporcionais. Essa é a base da semelhança de triângulos, que permite relacionar medidas desconhecidas do triângulo menor com as do maior.
A semelhança garante que a razão entre dois lados correspondentes é constante: se um lado do triângulo menor mede k vezes o lado correspondente do maior, todos os outros lados seguem a mesma razão k. Aqui, o retângulo inscrito divide os lados AB e AC em segmentos, e o triângulo menor formado tem lados que são partes desses segmentos. Montando a proporção entre os lados correspondentes, conseguimos descobrir a altura do retângulo.
Esta questão cobra exatamente essa proporção: precisamos identificar os lados correspondentes entre o triângulo menor e o triângulo ABC, montar a equação e resolver para a altura do retângulo.
AB = 8 cm
AC = 6 cm
base AD é o dobro da altura DE
O que queremos: o perímetro do retângulo ADEF
O retângulo tem base AD e altura DE. O enunciado diz que a base é o dobro da altura, então se a altura for x, a base é 2x. Precisamos de uma variável para montar as proporções.
Esquecer que a base é o dobro da altura e usar AD = x, o que leva a uma equação errada.
O triângulo menor formado pelos pontos D, E e B tem lados que são partes dos lados do triângulo maior. Precisamos dessas medidas em função de x para montar a proporção.
Confundir DB com AD, ou AE com DE.
Os triângulos BDE e BAC são semelhantes porque DE é paralelo a AC, então os ângulos correspondentes são iguais. A proporção entre lados correspondentes nos dá uma equação para x.
Por que esta fórmula: A semelhança garante que a razão entre um lado do triângulo menor e o lado correspondente do maior é constante. Aqui, DB corresponde a AB, e DE corresponde a AC.
De onde vem cada valor: = passo 2: 8 - 2x · = enunciado: 8 cm · = passo 1: x · = enunciado: 6 cm
Montar a proporção com os lados errados, por exemplo usando AD em vez de DB.
A proporção é uma equação do primeiro grau; resolvê-la dá a altura do retângulo.
Por que esta fórmula: Multiplicando cruzado, isolamos x.
De onde vem cada valor: = enunciado: AC = 6 cm · = enunciado: AB = 8 cm · = passo 1: base do retângulo
Errar a distributiva: 6(8 - 2x) = 48 - 12x, não 48 - 2x.
A base é o dobro da altura, então com x conhecido calculamos AD.
Por que esta fórmula: O enunciado diz que a base é o dobro da altura.
De onde vem cada valor: = passo 4: 2,4 cm
Usar x como base, esquecendo o fator 2.
O perímetro é a soma dos quatro lados; com base e altura conhecidas, calculamos.
Por que esta fórmula: O perímetro de um retângulo é 2 vezes a soma da base com a altura.
De onde vem cada valor: = passo 5: 4,8 cm · = passo 4: 2,4 cm
Esquecer de multiplicar por 2, ou somar apenas base e altura.
Resposta: 14,4 cm — alternativa C
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