No plano cartesiano, o triângulo cujos vértices são (0,0), (a,b) e (c,d) tem área dada pelo valor absoluto da expressão:
A área do triângulo cujos vértices são (0,0), (5, -1) e (8, 6) é:
GabaritoE — 19
Gabarito: letra E — a conta chega a A área é 19 — alternativa E.
A área de um triângulo mede, em unidades quadradas, o espaço que ele ocupa no plano. Quando um dos vértices está na origem, a área pode ser calculada diretamente a partir das coordenadas dos outros dois pontos, sem precisar medir lados ou alturas.
A fórmula A = ½·|a·d − b·c| usa o determinante da matriz formada pelas coordenadas dos dois vértices não-origem. O determinante a·d − b·c dá a área do paralelogramo definido pelos vetores (a,b) e (c,d); o triângulo é exatamente metade desse paralelogramo, por isso dividimos por 2. O módulo garante que a área seja sempre positiva, independentemente da ordem dos pontos.
Esta questão pede apenas que você aplique a fórmula com os números dados, mas exige cuidado com o sinal da coordenada negativa. O erro mais comum é esquecer que b = −1 e subtrair em vez de somar.
vértice na origem: (0,0)
vértice A: (5, -1)
vértice B: (8, 6)
O que queremos: a área do triângulo formado por esses três pontos
O determinante a·d − b·c é o coração da fórmula: ele mede a área do paralelogramo. Precisamos calculá-lo com os números corretos, prestando atenção nos sinais.
Por que esta fórmula: A fórmula do determinante para uma matriz 2×2 é exatamente a·d − b·c. Aqui, a=5, b=−1, c=8, d=6.
De onde vem cada valor: = enunciado: 5 · = enunciado: −1 · = enunciado: 8 · = enunciado: 6
Esquecer que b é negativo: calcular 5·6 − 1·8 = 22 em vez de 5·6 − (−1)·8 = 38.
A área não pode ser negativa, então usamos o valor absoluto do determinante. Como 38 já é positivo, o módulo não muda nada, mas é importante lembrar dele.
Por que esta fórmula: O módulo é uma operação que torna o número positivo. Se o determinante fosse negativo, o módulo o tornaria positivo.
De onde vem cada valor: = passo 1: 38
Esquecer o módulo e, se o determinante fosse negativo, obter área negativa.
O determinante deu a área do paralelogramo, mas o triângulo é metade dele. Por isso dividimos por 2.
Por que esta fórmula: A fórmula da área é A = ½·|det|, então basta dividir o valor do módulo por 2.
De onde vem cada valor: = passo 2: 38
Dividir por 2 antes de aplicar o módulo, ou esquecer de dividir e responder 38.
Resposta: A área é 19 — alternativa E
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