Matemática · FGV · 2024 | Questão sqc-fg164342

Equação com fração: encontrando a raiz

Gabarito: letra D — substituindo x = 4 na equação, temos 4² + 12/4 = 16 + 3 = 19, que satisfaz a igualdade. A equação é uma equação racional (ou fracionária), que pode ser transformada em uma equação do 2º grau.

A equação dada é $x^2 + \frac{12}{x} = 19$ . Para resolvê-la, o primeiro passo é eliminar a fração, multiplicando ambos os lados por $x$ (desde que $x \neq 0$ , pois não existe divisão por zero). Assim:

x^2 \cdot x + \frac{12}{x} \cdot x = 19 \cdot x \Rightarrow x^3 + 12 = 19x

Reorganizando os termos, obtemos uma equação do 3º grau:

x^3 - 19x + 12 = 0

Agora, para encontrar as raízes, podemos testar os valores das alternativas, pois são números inteiros pequenos. Vamos verificar cada um:

x = 1: $1^3 - 19 \cdot 1 + 12 = 1 - 19 + 12 = -6 \neq 0$
x = 2: $8 - 38 + 12 = -18 \neq 0$
x = 3: $27 - 57 + 12 = -18 \neq 0$
x = 4: $64 - 76 + 12 = 0$ ✅
x = 6: $216 - 114 + 12 = 114 \neq 0$

Portanto, x = 4 é uma raiz da equação. Mas será que existem outras raízes? Sim, uma equação do 3º grau pode ter até 3 raízes reais. Para encontrá-las, podemos fatorar o polinômio usando a raiz conhecida. Dividindo $x^3 - 19x + 12$ por $(x - 4)$ , obtemos:

x^3 - 19x + 12 = (x - 4)(x^2 + 4x - 3)

As outras raízes vêm da equação $x^2 + 4x - 3 = 0$ , que são $x = -2 \pm \sqrt{7}$ . Mas a questão pede apenas uma das raízes, e entre as alternativas, a única que é raiz é x = 4.

NÃO CAIA NESSA!

A banca não pede para resolver a equação, mas sim para identificar uma raiz entre as opções. O candidato pode tentar resolver a equação do 3º grau e se perder, quando bastaria testar os valores. Além disso, é comum esquecer de verificar se o valor de x não zera o denominador (x ≠ 0), mas nenhuma alternativa é zero, então isso não é um problema aqui.

Caso	Valor de x	Resultado da equação (x² + 12/x)	É raiz?
A	1	13	Não
B	2	10	Não
C	3	13	Não
D	4	19	Sim
E	6	38	Não

Alternativa A — ❌ Incorreta

Substituindo x = 1 na equação original: $1^2 + \frac{12}{1} = 1 + 12 = 13 \neq 19$ . Portanto, não é raiz.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Substituindo x = 2: $2^2 + \frac{12}{2} = 4 + 6 = 10 \neq 19$ . Não é raiz.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Substituindo x = 3: $3^2 + \frac{12}{3} = 9 + 4 = 13 \neq 19$ . Não é raiz.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Substituindo x = 4: $4^2 + \frac{12}{4} = 16 + 3 = 19$ . A igualdade é verdadeira, portanto x = 4 é raiz da equação.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Substituindo x = 6: $6^2 + \frac{12}{6} = 36 + 2 = 38 \neq 19$ . Não é raiz.

Gabarito: letra D