Questão de Matemática — Lei dos Senos e Lei dos Cossenos — FGV 2024

Lei dos Cossenos em triângulo equilátero

Gabarito: letra C — $MN = 2\sqrt{13}$. O triângulo ABC é equilátero de lado 10, então $CM = 8$ e $CN = 6$, com o ângulo em C medindo 60°. Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo MCN: $MN^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos 60° = 64 + 36 - 48 = 52$, logo $MN = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.

A questão mistura dois conceitos de Geometria Plana: as propriedades do triângulo equilátero e a Lei dos Cossenos. O triângulo equilátero tem os três lados iguais e os três ângulos internos de 60°. Como $AB = 10$, então $AC = BC = 10$. O ponto M está sobre o lado CA com $MA = 2$, logo $CM = AC - MA = 10 - 2 = 8$. O ponto N está sobre o lado CB com $BN = 4$, logo $CN = BC - BN = 10 - 4 = 6$. O segmento MN é o lado oposto ao ângulo de 60° no triângulo MCN.

A Lei dos Cossenos generaliza o Teorema de Pitágoras para qualquer triângulo: em um triângulo de lados $a$, $b$, $c$, com ângulo $\alpha$ oposto ao lado $a$, vale $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$. Quando $\alpha = 90°$, $\cos 90° = 0$ e a fórmula se reduz a $a^2 = b^2 + c^2$ (Pitágoras). Quando o ângulo é agudo (como 60°), o termo $-2bc\cos\alpha$ é negativo, subtraindo da soma dos quadrados.

Aplicando ao triângulo MCN, com lados $CM = 8$, $CN = 6$ e ângulo entre eles de 60°:

Como $\cos 60° = \frac{1}{2}$:

A pegadinha clássica desta questão é o aluno esquecer de subtrair as medidas dadas do lado total do triângulo equilátero, usando $MA = 2$ e $BN = 4$ diretamente como se fossem os lados do triângulo MCN. Outro erro comum é confundir o ângulo: como ABC é equilátero, o ângulo em C é 60°, não 90° nem 120°. Guarde o passo a passo: identificar o triângulo equilátero → calcular os lados restantes por subtração → aplicar a Lei dos Cossenos com o ângulo de 60°.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$2\sqrt{10} \approx 6,32$. Este valor surgiria de um cálculo como $MN^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos 60°$ com erro na subtração, ou de aplicar a Lei dos Cossenos com o ângulo errado. Não corresponde a nenhuma combinação correta dos dados.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$4\sqrt{3} \approx 6,93$. Este valor resultaria de $MN^2 = 48$, que é $64 + 36 - 52$ (subtraindo 52 em vez de 48). É um distrator numérico: o aluno que erra o cálculo do termo $-2bc\cos\alpha$ pode chegar a 48.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$2\sqrt{13} \approx 7,21$. É exatamente o valor encontrado: $MN^2 = 52$, então $MN = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$. A alternativa correta reflete a aplicação correta da Lei dos Cossenos com $CM = 8$, $CN = 6$ e ângulo de 60°.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$2\sqrt{15} \approx 7,75$. Este valor corresponderia a $MN^2 = 60$, que não surge de nenhuma combinação correta dos dados. É um distrator que confunde o aluno que não domina a fatoração de radicais.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$5\sqrt{2} \approx 7,07$. Este valor corresponderia a $MN^2 = 50$, que é $64 + 36 - 50$ (subtraindo 50 em vez de 48). É outro distrator numérico próximo do valor correto, explorando o erro no termo da Lei dos Cossenos.

Gabarito: letra C