Questão de Matemática — Área e Perímetro de Um Polígono Qualquer — FGV 2024
Matemática›Área e Perímetro de Um Polígono Qualquer
Código
fg164347
Banca
FGV
Órgão
Pref Caraguatatuba
Ano
2024
Cargo
Proc ( )
A figura a seguir ilustra um triângulo equilátero ABC com os pontos D, E, F, G, H, I, J, K e L dispostos sobre seus lados de modo que:
AD, DE, EF e FB têm todos a mesma medida;
AG, GH, HI e IC têm todos a mesma medida;
BJ, JK, KL e LC têm todos a mesma medida.
A razão entre as áreas do triângulo CHK e do polígono pentagonal DBKHG é
A2/5.
B3/8.
C4/11.
D5/12.
E7/16.
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GabaritoC — 4/11.
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Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a 4/11 — alternativa C.
A ideia por trás
Área é a medida da superfície de uma figura, e comparar áreas de figuras desenhadas sobre uma mesma malha pode ser feito contando quantas unidades iguais cada uma ocupa. Quando um triângulo equilátero é dividido em segmentos iguais e traçamos paralelas aos lados, formamos uma malha de triângulos menores todos congruentes — cada um tem a mesma área, então a área de qualquer figura composta por eles é um múltiplo inteiro dessa área unitária.
A razão entre as áreas de duas figuras compostas por triângulos menores congruentes é a razão entre as quantidades de triângulos que cada uma contém. Se cada triângulo menor tem área S, uma figura com n deles tem área n·S, e a razão entre duas figuras com n e m triângulos é n/m. Isso vale porque todos os triângulos menores são idênticos, então a área total é proporcional à contagem.
Esta questão pede exatamente essa contagem: dividir o triângulo ABC em triângulos menores e contar quantos formam o triângulo CHK e quantos formam o pentágono DBKHG. A razão será a fração entre esses números.
O que a questão dá
triângulo equilátero ABC
pontos D, E, F, G, H, I, J, K, L sobre os lados
AD = DE = EF = FB
AG = GH = HI = IC
BJ = JK = KL = LC
O que queremos: a razão entre a área do triângulo CHK e a área do pentágono DBKHG
Passo 1 — Dividir cada lado em 4 partes iguais
Os pontos D, E, F dividem o lado AB em 4 segmentos iguais, e o mesmo vale para os outros lados. Isso significa que, ao traçar paralelas aos lados, o triângulo ABC fica dividido em uma malha de triângulos menores todos do mesmo tamanho. Precisamos dessa malha para poder contar áreas.
NÃO CAIA NESSA!
Achar que cada lado foi dividido em 3 partes, contando apenas os pontos internos sem incluir os vértices. São 4 segmentos por lado.
Passo 2 — Traçar as paralelas para formar a malha
Para comparar áreas, precisamos de uma unidade comum. Traçando segmentos paralelos aos lados passando pelos pontos de divisão, o triângulo grande fica dividido em 16 triângulos equiláteros menores, todos congruentes. Cada um tem a mesma área, que chamaremos de S.
NÃO CAIA NESSA!
Não traçar todas as paralelas e tentar contar áreas sem a malha completa.
Passo 3 — Contar os triângulos do triângulo CHK
Agora que temos a malha, podemos contar quantos triângulos menores formam o triângulo CHK. Ele tem vértice em C, e os pontos H e K estão nas divisões dos lados. Visualizando, ele ocupa uma região que contém exatamente 4 triângulos menores.
4 triângulos menores
NÃO CAIA NESSA!
Contar apenas os triângulos inteiros e esquecer os que estão parcialmente dentro, mas na malha todos os triângulos são inteiros.
Passo 4 — Contar os triângulos do pentágono DBKHG
O pentágono DBKHG é a outra figura cuja área queremos comparar. Ele é formado por vários triângulos menores da malha. Contando cuidadosamente, ele contém 11 triângulos menores.
11 triângulos menores
NÃO CAIA NESSA!
Contar a região do pentágono de forma errada, incluindo ou excluindo triângulos que não pertencem a ele.
Passo 5 — Calcular a razão entre as áreas
Como cada triângulo menor tem a mesma área S, a área do triângulo CHK é 4S e a do pentágono é 11S. A razão pedida é a divisão dessas áreas.
Por que esta fórmula: A razão entre áreas de figuras compostas por triângulos congruentes é a razão entre as quantidades de triângulos, pois a área de cada um é a mesma.
De onde vem cada valor: = passo 3: 4 triângulos menores · = passo 4: 11 triângulos menores
NÃO CAIA NESSA!
Simplificar a fração incorretamente ou inverter a ordem da razão.
