Questão de Matemática — Definição, Subconjuntos, Inclusão e Pertinência, Operações, Conjunto das Partes — FGV 2024

Conjunto vazio: símbolo e representação

Gabarito: letra B. O conjunto vazio é representado pelo símbolo $\varnothing$ (ou $\emptyset$), que designa o conjunto que não possui elementos. As demais alternativas representam outras coisas: $\{\varnothing\}$ é um conjunto que contém o conjunto vazio como elemento, $\{0\}$ é um conjunto unitário contendo o número zero, $0$ é o número zero, e $\infty$ é o símbolo de infinito.

O conjunto vazio é um conceito fundamental na Teoria dos Conjuntos, criada por Georg Cantor. Ele é o conjunto que não possui nenhum elemento, e sua existência é garantida por um axioma específico. A notação padrão utiliza o símbolo $\varnothing$ (lê-se "vazio") ou $\emptyset$. É crucial distinguir o conjunto vazio de outras entidades matemáticas que podem parecer semelhantes, mas são conceitualmente diferentes.

A principal confusão que a banca explora é entre o conjunto vazio ($\varnothing$) e o conjunto que contém o conjunto vazio como elemento ($\{\varnothing\}$). Enquanto o primeiro não tem elementos, o segundo tem exatamente um elemento: o conjunto vazio. Essa distinção é essencial para entender a cardinalidade (número de elementos) e a relação de pertinência. Por exemplo, $\varnothing \in \{\varnothing\}$ é verdadeiro, mas $\varnothing \notin \varnothing$.

Outra distinção importante é entre o conjunto vazio e o conjunto unitário $\{0\}$. O conjunto $\{0\}$ contém o número zero como seu único elemento, portanto tem cardinalidade 1, enquanto o conjunto vazio tem cardinalidade 0. O número $0$ isolado não é um conjunto, é um elemento. O símbolo $\infty$ representa o conceito de infinito, que não é um número nem um conjunto na teoria dos conjuntos padrão.

Uma propriedade fundamental do conjunto vazio é que ele é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja, $\varnothing \subset A$ para todo conjunto $A$. Isso ocorre porque não existe elemento em $\varnothing$ que não pertença a $A$. Essa propriedade é usada na construção do conjunto das partes, que é o conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado.

Guarde a fronteira entre "conjunto vazio" e "conjunto que contém o conjunto vazio": é exatamente nela que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\{\varnothing\}$ representa um conjunto que possui um elemento, que é o conjunto vazio. Portanto, não é o conjunto vazio, mas sim um conjunto unitário cujo único elemento é $\varnothing$. A cardinalidade de $\{\varnothing\}$ é 1, enquanto a do conjunto vazio é 0.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O símbolo $\varnothing$ é a representação padrão do conjunto vazio, ou seja, o conjunto que não possui nenhum elemento. É a notação consagrada na matemática para designar essa entidade.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\{0\}$ é um conjunto unitário que contém o número zero como elemento. Não é o conjunto vazio, pois possui um elemento. A confusão aqui é entre o número zero e o conjunto vazio, que são entidades distintas.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$0$ é o número zero, um elemento, não um conjunto. O conjunto vazio é um conjunto, não um número. A notação correta para o conjunto vazio é $\varnothing$, não o numeral $0$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\infty$ é o símbolo do infinito, um conceito que não representa um conjunto na teoria dos conjuntos. Não é a notação para o conjunto vazio.

Gabarito: letra B