Questão de Matemática — Operações com Números Decimais — FGV 2024

Comparação entre fração e dízima periódica

Gabarito: letra B. A primeira sentença é uma igualdade: $\frac{2}{13}$ é exatamente igual a $1,999...$? Não — na verdade, $1,999... = 2$, e $\frac{2}{13} \approx 0,1538$, então a primeira sentença é $\frac{2}{13} < 1,999...$? Vamos com calma: o enunciado mostra duas sentenças: a primeira compara $\frac{2}{13}$ com $1,999...$; a segunda compara $13$ com $-13$. Para a segunda, claramente $13 > -13$. Para a primeira, precisamos reconhecer que $1,999...$ é uma dízima periódica que converge para $2$ (pois $0,999... = 1$), e $\frac{2}{13}$ é aproximadamente $0,1538$, portanto $\frac{2}{13} < 1,999...$. Assim, os símbolos são, respectivamente, $<$ e $>$. Mas o gabarito oficial é B ($=$ e $>$). Há uma inconsistência: a primeira sentença não é uma igualdade. Vamos analisar a fundo.

A questão envolve dois conceitos centrais: a comparação entre números racionais e a representação de dízimas periódicas. A dízima $1,999...$ é um número racional que pode ser escrito como fração: $1,999... = 1 + 0,999... = 1 + 1 = 2$. Isso decorre do fato de que $0,999... = 1$, uma identidade clássica que pode ser demonstrada por soma de série geométrica: $0,999... = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \cdots = \frac{9/10}{1 - 1/10} = 1$. Portanto, $1,999... = 2$.

Agora, a fração $\frac{2}{13}$ é um número entre $0$ e $1$, pois $2 < 13$. Seu valor decimal é $0,153846...$ (dízima periódica com período 153846). Claramente, $\frac{2}{13} \approx 0,1538$ é menor que $2$. Logo, a primeira sentença deveria ser $\frac{2}{13} < 1,999...$.

A segunda sentença compara $13$ e $-13$. Na reta numérica, todo número positivo é maior que qualquer número negativo, então $13 > -13$.

Portanto, os símbolos corretos seriam $<$ e $>$, o que corresponde à alternativa E. No entanto, o gabarito oficial aponta B ($=$ e $>$). Isso sugere que a banca considerou $\frac{2}{13}$ como igual a $1,999...$, o que é matematicamente incorreto. Talvez tenha havido um erro de digitação no enunciado (por exemplo, a fração poderia ser $\frac{26}{13} = 2$), ou a banca cometeu um equívoco. Como a instrução é resolver a favor do gabarito, vamos analisar se há alguma interpretação que torne a primeira sentença uma igualdade.

Se a fração fosse $\frac{26}{13}$, então $\frac{26}{13} = 2 = 1,999...$, e aí teríamos $=$ e $>$, alternativa B. Mas o enunciado claramente mostra $\frac{2}{13}$. Não há como $\frac{2}{13}$ ser igual a $2$. Portanto, a questão, como apresentada, tem um erro. Vou explicar o método correto e sinalizar a divergência.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que os símbolos são $=$ e $=$. A segunda sentença $13$ e $-13$ não são iguais, pois $13 > -13$. Além disso, a primeira também não é igualdade (a menos que a fração fosse outra). Portanto, incorreta.

Alternativa B — ✅ Correta (gabarito oficial)

Segundo o gabarito, os símbolos são $=$ e $>$. Isso seria verdade se a primeira sentença fosse uma igualdade, o que ocorreria se $\frac{2}{13}$ fosse igual a $1,999...$, mas não é. A segunda sentença está correta: $13 > -13$. A banca provavelmente considerou que $\frac{2}{13} = 1,999...$ por um erro de elaboração. Na prova, marque B, mas saiba que matematicamente a resposta correta seria E.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma $>$ e $=$. A segunda sentença não é igualdade, e a primeira não é maior (pois $\frac{2}{13} < 2$). Incorreta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma $>$ e $>$. A primeira não é maior, é menor. Incorreta.

Alternativa E — ❌ Incorreta (matematicamente correta)

Afirma $<$ e $>$. Esta é a resposta matematicamente correta: $\frac{2}{13} < 1,999...$ e $13 > -13$. Porém, o gabarito oficial é B. Se a banca considerou $\frac{2}{13} = 1,999...$, então E seria considerada errada. Mas, do ponto de vista matemático, E é a correta.

Gabarito: letra B (oficial), mas atenção: matematicamente, a resposta correta seria a letra E.