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Questão de Matemática — Matrizes — FGV 2024

MatemáticaMatrizes
Código
fg164361
Banca
FGV
Órgão
Pref Caraguatatuba
Ano
2024
Cargo
Ag ( )
Três amigos A_1, A_2 e A_3 foram juntos a uma cafeteria. A matriz (012302210)\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} indica quantos cafés cada um pagou para outro. Nessa matriz, o elemento da linha i e coluna k indica quantos cafés o amigo A_i pagou para o amigo A_k.   A diferença entre a quantidade de cafés que A_2 pagou para os amigos e a quantidade de cafés que os amigos juntos pagaram para A_2 é
  1. A0.
  2. B1.
  3. C2.
  4. D3.
  5. E4.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 3.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 3 — alternativa D.

A ideia por trás

Uma matriz é uma tabela de números organizados em linhas e colunas. Cada elemento tem uma posição: a linha indica quem age, a coluna indica sobre quem age. Nesta questão, a matriz registra pagamentos de café entre três amigos, então cada número conta uma relação direcionada.

Para saber o total que uma pessoa pagou, somamos os elementos da sua linha; para saber o total que ela recebeu, somamos os elementos da sua coluna. A diagonal principal (linha = coluna) representa a relação de uma pessoa consigo mesma, que aqui é zero, pois ninguém paga café para si.

A questão pede exatamente essa leitura: somar a linha 2 (o que A₂ pagou) e a coluna 2 (o que os outros pagaram para A₂) e subtrair um do outro.

O que a questão dá

  • matriz: [[0,1,2],[3,0,2],[2,1,0]]

  • elemento a_ik = cafés que A_i pagou para A_k

O que queremos: a diferença entre o total que A₂ pagou e o total que os amigos pagaram para A₂

Passo 1 — Somar o que A₂ pagou

Precisamos do total de cafés que A₂ pagou para os outros. Na matriz, a linha 2 representa as ações de A₂, então somamos os elementos dessa linha.

Por que esta fórmula: A linha 2 é [3, 0, 2], onde cada número é o que A₂ pagou para A₁, A₂ e A₃, respectivamente. Somar esses valores dá o total pago.

totalpago=a21+a22+a23total_{pago} = a_{21} + a_{22} + a_{23}

De onde vem cada valor: a21a_{21} = enunciado: 3 · a22a_{22} = enunciado: 0 · a23a_{23} = enunciado: 2

totalpago=3+0+2=5 cafeˊstotal_{pago} = 3 + 0 + 2 = \boxed{5\ \text{caf}é\text{s}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o elemento a_{22} (que é zero) e somar apenas 3 + 2 = 5, mas isso não muda o resultado; o erro grave é confundir linha com coluna.

Passo 2 — Somar o que os amigos pagaram para A₂

Agora precisamos do total que A₂ recebeu dos outros. Isso está na coluna 2, pois a coluna indica para quem o pagamento foi feito.

Por que esta fórmula: A coluna 2 é [1, 0, 1], onde cada número é o que A₁, A₂ e A₃ pagaram para A₂. Somar esses valores dá o total recebido.

totalrecebido=a12+a22+a32total_{recebido} = a_{12} + a_{22} + a_{32}

De onde vem cada valor: a12a_{12} = enunciado: 1 · a22a_{22} = enunciado: 0 · a32a_{32} = enunciado: 1

totalrecebido=1+0+1=2 cafeˊstotal_{recebido} = 1 + 0 + 1 = \boxed{2\ \text{caf}é\text{s}}
NÃO CAIA NESSA!

Incluir o elemento a_{22} como se fosse um amigo pagando, mas ele é zero e não altera a soma; o erro comum é somar a linha 2 em vez da coluna 2.

Passo 3 — Calcular a diferença pedida

A questão pede a diferença entre o que A₂ pagou e o que recebeu. Com os dois totais em mãos, basta subtrair.

Por que esta fórmula: A diferença é o total pago menos o total recebido, na ordem em que o enunciado pede.

diferenc\ca=totalpago−totalrecebidodiferença = total_{pago} - total_{recebido}

De onde vem cada valor: totalpagototal_{pago} = passo 1: 5 · totalrecebidototal_{recebido} = passo 2: 2

diferenc\ca=5−2=3diferença = 5 - 2 = \boxed{3}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a ordem e fazer 2 - 5 = -3, mas a questão pede explicitamente 'o que A₂ pagou' menos 'o que os amigos pagaram para A₂'.

Resposta: 3 — alternativa D

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