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Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — FGV 2024

MatemáticaAnálise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
fg164366
Banca
FGV
Órgão
Pref Caraguatatuba
Ano
2024
Cargo
Prof ( )
Três elementos do conjunto {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14} serão escolhidos.   O número de formas diferentes que essa escolha pode ser feita de modo que a sua soma dê um resultado par é
  1. A16.
  2. B12.
  3. C10.
  4. D6.
  5. E4.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 16.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 16 maneiras — alternativa A.

A ideia por trás

A análise combinatória conta de quantas formas podemos agrupar elementos de um conjunto. Quando a ordem de escolha não importa — escolher {8, 10, 12} é o mesmo que {12, 8, 10} — usamos a combinação simples, que responde 'quantos subconjuntos de tamanho k existem em um conjunto de n elementos'. A paridade de um número é se ele é par (divisível por 2) ou ímpar (deixa resto 1 na divisão por 2).

A combinação simples é dada por C(n,k) = n! / (k!(n-k)!). Ela conta agrupamentos sem repetição e sem ordem. Para somas, a paridade segue regras fixas: par + par = par, ímpar + ímpar = par, par + ímpar = ímpar. Com três números, a soma é par apenas se todos forem pares ou se houver um par e dois ímpares. Essas regras valem para qualquer conjunto de inteiros.

Esta questão pede para contar combinações de 3 elementos com uma restrição de paridade. Precisamos separar o conjunto em pares e ímpares, aplicar a combinação em cada cenário possível e somar os resultados.

O que a questão dá

  • conjunto = {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}

  • escolher 3 elementos

  • soma deve ser par

O que queremos: o número de maneiras de escolher 3 elementos cuja soma é par

Passo 1 — Separar os números pares e ímpares

A restrição é sobre a paridade da soma, então precisamos saber quantos números de cada tipo temos. Isso define as possibilidades de escolha.

pares: 4 (8, 10, 12, 14); ímpares: 3 (9, 11, 13)

NÃO CAIA NESSA!

Contar errado os pares ou ímpares, por exemplo esquecer o 14 ou o 13.

Passo 2 — Listar os casos que dão soma par

Com três números, a soma é par em duas situações: todos pares, ou um par e dois ímpares. Precisamos dessas duas para não esquecer nenhuma.

Por que esta fórmula: A paridade da soma segue as regras da aritmética: par+par+par = par, par+ímpar+ímpar = par. As outras combinações dão ímpar.

caso 1: 3 pares; caso 2: 1 par e 2 ímpares

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o caso '1 par e 2 ímpares' e contar só o caso de três pares.

Passo 3 — Contar as escolhas de três pares

Temos 4 pares e precisamos escolher 3. Como a ordem não importa, usamos combinação.

Por que esta fórmula: C(n,k) conta subconjuntos de tamanho k sem ordem. Aqui n=4, k=3.

C(4,3)=4!3!(4−3)!C(4{,}3) = \frac{4!}{3!(4-3)!}

De onde vem cada valor: 44 = passo 1: quantidade de pares · 33 = enunciado: escolher 3 elementos

C(4,3)=4!3!⋅1!=4=4 maneirasC(4{,}3) = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = 4 = \boxed{4\ \text{maneiras}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar arranjo (contar ordem) e obter 24.

Passo 4 — Contar as escolhas de um par e dois ímpares

Agora escolhemos 1 par entre 4 e 2 ímpares entre 3. Como as escolhas são independentes, multiplicamos as combinações.

Por que esta fórmula: O princípio multiplicativo: para cada escolha de par, há várias escolhas de ímpares. C(4,1) * C(3,2).

C(4,1)×C(3,2)=4!1!(4−1)!×3!2!(3−2)!C(4{,}1) \times C(3{,}2) = \frac{4!}{1!(4-1)!} \times \frac{3!}{2!(3-2)!}

De onde vem cada valor: 44 = passo 1: quantidade de pares · 11 = constante: escolher 1 par · 33 = passo 1: quantidade de ímpares · 22 = constante: escolher 2 ímpares

C(4,1)×C(3,2)=4×3=12=12 maneirasC(4{,}1) \times C(3{,}2) = 4 \times 3 = 12 = \boxed{12\ \text{maneiras}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar em vez de multiplicar, obtendo 7.

Passo 5 — Somar os dois casos

Os casos são mutuamente exclusivos: ou escolhemos três pares, ou um par e dois ímpares. O total é a soma.

Por que esta fórmula: Regra do 'ou': quando duas situações não podem ocorrer juntas, somamos as contagens.

total=4+12total = 4 + 12

De onde vem cada valor: 44 = passo 3 · 1212 = passo 4

total=4+12=16=16 maneirastotal = 4 + 12 = 16 = \boxed{16\ \text{maneiras}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar e responder só um dos casos.

Resposta: 16 maneiras — alternativa A

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