Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — FGV 2024

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 8 quadriláteros — alternativa B.

A ideia por trás

Um quadrilátero convexo é uma figura de quatro lados em que todos os ângulos internos são menores que 180°, e suas diagonais são os segmentos que ligam vértices não consecutivos. Quando os quatro vértices estão sobre uma circunferência, o quadrilátero é sempre convexo, e a ordem dos vértices na figura é a mesma ordem em que aparecem na circunferência.

Para que um segmento entre dois vértices seja uma diagonal, os outros dois vértices devem estar em lados opostos da reta que contém esse segmento. Se estivessem do mesmo lado, o segmento seria um lado do quadrilátero, não uma diagonal. Assim, a condição de AF ser diagonal obriga que um dos outros vértices esteja no arco entre A e F (sentido horário) e o outro no arco entre F e A.

Esta questão cobra exatamente essa condição: dividir a circunferência em dois arcos determinados por A e F, contar quantos pontos há em cada lado e aplicar o princípio multiplicativo para escolher um de cada lado.

O que a questão dá

• 8 pontos distintos A, B, C, D, E, F, G, H em ordem horária sobre uma circunferência

• AF deve ser uma das diagonais do quadrilátero

O que queremos: a quantidade de quadriláteros convexos distintos que podem ser construídos

Passo 1 — Dividir a circunferência em dois arcos por A e F

Para que AF seja diagonal, os outros dois vértices precisam estar em lados opostos da reta AF. Isso significa que um deve estar no arco que vai de A a F no sentido horário, e o outro no arco que vai de F a A. Então, primeiro precisamos saber quantos pontos há em cada arco.

Arco menor: B, C (2 pontos); arco maior: D, E, G, H (4 pontos)

Passo 2 — Escolher um ponto de cada arco

Com os arcos definidos, a escolha de um ponto em cada um garante que AF seja diagonal. Se escolhêssemos dois pontos do mesmo arco, AF seria um lado, não uma diagonal. Então, aplicamos o princípio multiplicativo: para cada escolha no arco menor, temos todas as escolhas do arco maior.

Por que esta fórmula: O princípio fundamental da contagem diz que, se uma escolha tem m opções e outra independente tem n opções, o total de combinações é m × n. Aqui, escolher um ponto do arco menor (2 opções) e um do arco maior (4 opções) são escolhas independentes.

De onde vem cada valor: $n_{menor}$ = passo 1: 2 pontos (B, C) · $n_{maior}$ = passo 1: 4 pontos (D, E, G, H)

Resposta: 8 quadriláteros — alternativa B