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Questão de Matemática — Regra de Três Composta — FGV 2024

MatemáticaRegra de Três Composta
Código
fg164374
Banca
FGV
Órgão
Pref Caraguatatuba
Ano
2024
Cargo
Prof ( )
Uma fábrica de refrigerante usa máquinas com mesma capacidade de trabalho para engarrafar seu produto. Cinco dessas máquinas são postas em funcionamento simultaneamente com a expectativa de que, em 12 minutos, trabalhando sem intervalos, engarrafem juntas um total de 3.000 garrafas. Lamentavelmente, após 8 minutos de trabalho contínuo, uma delas para de funcionar. As 4 máquinas remanescentes continuaram trabalhando até que o total de 3.000 unidades foi atingido.   O tempo total de trabalho das máquinas, desde o início da realização da tarefa até a meta ser atingida, foi de
  1. A13 minutos.
  2. B14 minutos e 30 segundos.
  3. C15 minutos.
  4. D16 minutos e 30 segundos.
  5. E18 minutos.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 13 minutos.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 13 minutos — alternativa A.

A ideia por trás

A regra de três composta relaciona três ou mais grandezas que variam juntas. Aqui, a produção de garrafas depende do número de máquinas e do tempo de trabalho. A grandeza-chave é a capacidade de produção por máquina por minuto, que permanece constante durante todo o processo.

Se a produção é diretamente proporcional ao número de máquinas e ao tempo, então a produção total é o produto do número de máquinas pelo tempo e pela taxa unitária. Quando uma máquina para, a taxa de produção diminui, mas a taxa por máquina não muda. Por isso, dividimos o problema em fases com números diferentes de máquinas.

Esta questão exige calcular a taxa unitária de produção e depois aplicar em duas fases: primeiro com 5 máquinas por 8 minutos, depois com 4 máquinas até completar a meta. O tempo total é a soma dos tempos das duas fases.

O que a questão dá

  • 5 máquinas produzem 3000 garrafas em 12 minutos

  • após 8 minutos, 1 máquina para

  • restam 4 máquinas trabalhando até completar 3000 garrafas

O que queremos: o tempo total de trabalho desde o início até a meta ser atingida

Passo 1 — Calcular a produção por máquina por minuto

Precisamos de uma medida fixa de produção para comparar as duas fases. A taxa unitária é a quantidade de garrafas que uma máquina produz em um minuto, e ela não muda quando uma máquina para.

Por que esta fórmula: A produção total é o produto do número de máquinas, do tempo e da taxa unitária. Então, para achar a taxa, dividimos a produção total pelo produto do número de máquinas pelo tempo.

taxa=produc\ca~o totalmaˊquinas×tempotaxa = \frac{produção\ total}{máquinas \times tempo}

De onde vem cada valor: produc\ca~ototalprodução total = enunciado: 3000 garrafas · maˊquinasmáquinas = enunciado: 5 · tempotempo = enunciado: 12 minutos

taxa=30005×12=50 garrafaspormaˊquinaporminutotaxa = \frac{3000}{5 \times 12} = \boxed{50\ \text{garrafas} \text{por} \text{m}á\text{quina} \text{por} \text{minuto}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar máquinas por tempo e dividir 3000 por 5 ou por 12, obtendo valores errados.

Passo 2 — Calcular a produção das 5 máquinas em 8 minutos

Na primeira fase, todas as 5 máquinas trabalham por 8 minutos. Precisamos saber quantas garrafas elas produzem para subtrair do total e saber quanto falta.

Por que esta fórmula: A produção é o produto do número de máquinas, do tempo e da taxa unitária calculada no passo 1.

produc\ca~o1=maˊquinas×tempo×taxaprodução_1 = máquinas \times tempo \times taxa

De onde vem cada valor: maˊquinasmáquinas = enunciado: 5 · tempotempo = enunciado: 8 minutos · taxataxa = passo 1: 50 garrafas por máquina por minuto

produc\ca~o1=5×8×50=2000 garrafasprodução_1 = 5 \times 8 \times 50 = \boxed{2000\ \text{garrafas}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 12 minutos em vez de 8, ou esquecer de multiplicar pela taxa.

Passo 3 — Calcular quantas garrafas faltam

Depois de 8 minutos, uma máquina para. Precisamos saber quantas garrafas ainda precisam ser produzidas pelas 4 máquinas restantes.

Por que esta fórmula: O restante é a diferença entre a meta total e o que já foi produzido.

restante=total−produc\ca~o1restante = total - produção_1

De onde vem cada valor: totaltotal = enunciado: 3000 garrafas · produc\ca~o1produção_1 = passo 2: 2000 garrafas

restante=3000−2000=1000 garrafasrestante = 3000 - 2000 = \boxed{1000\ \text{garrafas}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair ao contrário, obtendo número negativo.

Passo 4 — Calcular o tempo que as 4 máquinas levam para produzir o restante

Agora temos 4 máquinas trabalhando. Precisamos descobrir quanto tempo elas levam para produzir as 1000 garrafas que faltam.

Por que esta fórmula: O tempo é a quantidade de garrafas dividida pela taxa de produção das 4 máquinas, que é 4 vezes a taxa unitária.

tempo2=restantemaˊquinas×taxatempo_2 = \frac{restante}{máquinas \times taxa}

De onde vem cada valor: restanterestante = passo 3: 1000 garrafas · maˊquinasmáquinas = enunciado: 4 · taxataxa = passo 1: 50 garrafas por máquina por minuto

tempo2=10004×50=5 minutostempo_2 = \frac{1000}{4 \times 50} = \boxed{5\ \text{minutos}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 5 máquinas em vez de 4, ou esquecer de multiplicar a taxa pelo número de máquinas.

Passo 5 — Somar os tempos das duas fases

O tempo total é a soma do tempo em que as 5 máquinas trabalharam com o tempo em que as 4 máquinas trabalharam.

Por que esta fórmula: O tempo total é a soma dos tempos parciais, pois as fases são consecutivas.

tempototal=tempo1+tempo2tempo_total = tempo_1 + tempo_2

De onde vem cada valor: tempo1tempo_1 = enunciado: 8 minutos · tempo2tempo_2 = passo 4: 5 minutos

tempototal=8+5=13 minutostempo_total = 8 + 5 = \boxed{13\ \text{minutos}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar os 8 minutos iniciais e responder apenas 5 minutos.

Resposta: 13 minutos — alternativa A

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